美文网首页
变限积分函数的求导

变限积分函数的求导

作者: 羽墨志 | 来源:发表于2019-10-12 16:07 被阅读0次

    一、定义

    设函数f(x)在区间[a,b]上连续,设x为区间[a,b]上的一点,考察定积分
    \int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt
    如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分\int _a^xf(t)dt都有一个对应值,所以它在区间[a,,b]上定义了一个函数,记为
    \Phi(x)=\int _a^xf(t)dt
    该函数就是积分上限函数

    二、变限积分函数求导公式

    如果函数f(x)连续,\phi(x)\varphi(x)可导,那么变限积分函数的求导公式可表示为
    \Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)
    [推导过程]
    记函数f(x)的原函数为F(x),则有
    F'(x)=f(x)

    \int f(x)dx=F(x)+C
    则对\Phi(x)运用牛顿-莱布尼茨公式\int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)可得
    \Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=F(x)|_{\phi(x)}^{\varphi(x)}=F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]
    由函数和的求导法则
    [u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)
    可得
    \Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=\{F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]\}'=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'
    由复合函数的求导法则
    \{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)
    可得
    \Phi^{'}(x)=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi(x)]\phi'(x)
    由(2)式F'(x)=f(x)可知F'[\varphi(x)]=f[\varphi(x)] F'[\phi(x)]=f[\phi(x)],则(8)式可改写为
    \Phi^{'}(x)=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi(x)]\phi'(x)=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)

    三、定理

    定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt[a,b]上具有导数,且导数为:
    \Phi^{'}(x)=\frac{d}{dt}\int _a^xf(t)dt=f(x)

    四、应用

    求极限
    \lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}
    令函数f(x)=\int_x^{2x}e^{t^2}dt,则函数 f(x)x=0 处连续,运用洛必达法则(L'Hôpital's rule)则有
    \lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{n \to 0} \frac{f'(x)}{x'}=\lim_{n \to 0} f'(x)
    这是一个典型的变限积分函数的求导,根据变限积分函数求导公式(3)可得
    f'(x)=\frac{d}{dx}\int_x^{2x}e^{t^2}dt=e^{(2x)^2}(2x)'-e^{x^2}(x)'=2e^{4x^2}-e^{x^2}
    则有
    \lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{x \to 0}2e^{4x^2}-e^{x^2}=1

    相关文章

      网友评论

          本文标题:变限积分函数的求导

          本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/lvyqmctx.html