一、定义
设函数在区间上连续,设为区间上的一点,考察定积分
如果上限在区间上任意变动,则对于每一个取定的值,定积分都有一个对应值,所以它在区间上定义了一个函数,记为
该函数就是积分上限函数。
二、变限积分函数求导公式
如果函数连续, 和可导,那么变限积分函数的求导公式可表示为
[推导过程]
记函数的原函数为,则有
或
则对运用牛顿-莱布尼茨公式可得
由函数和的求导法则
可得
由复合函数的求导法则
可得
由(2)式可知 ,则(8)式可改写为
三、定理
定理1 如果函数在区间上连续,则积分上限函数在上具有导数,且导数为:
四、应用
求极限
令函数,则函数 在 处连续,运用洛必达法则(L'Hôpital's rule)则有
这是一个典型的变限积分函数的求导,根据变限积分函数求导公式(3)可得
则有
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