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直观解释SVD

直观解释SVD

作者: 掰不开桃子的男人 | 来源:发表于2019-07-18 11:22 被阅读0次

基本概念

SVD(singular value decomposition)，奇异值分解

对称方阵可以分解成特征值和特征向量的形式：

S = Q \wedge Q ^ { T }

那么类比，任意矩阵m*n可以分解成类似形式吗？可以，分成奇异值和特征向量。

A = U \Sigma V ^ { \top }

也可以把A写成rank 1的矩阵之和：

A = \sigma _ { 1 } u _ { 1 } v _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } + \sigma _ { 2 } u _ { 2 } v _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } + \ldots + \sigma _ { r } u _ { r } v _ { r } ^ { \mathrm { T } }

其中\sigma _ {i}代表奇异值，总共只有r个，全部大于0，其他都为0.

有什么用？

可以把图片转为矩阵，通过丢弃不重要的奇异值，进行压缩：

参考https://www.zhihu.com/question/22237507?sort=created

怎么求解？

image.png image.png

  • u_i是AA^T的eigenvector

  • \sigma_i^2是AA^T的eigenvalue

上面两个式子左边都是对称方阵可以用特征值分解，然后得到U/\Sigma/V

直观解释

奇异值分解实际上把矩阵的变换分为了三部分：

  • 旋转

  • 拉伸

  • 投影

image.png image.png

参考：https://www.zhihu.com/question/22237507?sort=created

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