卡尔曼滤波

作者: 有事没事扯扯淡 | 来源:发表于2019-03-14 09:30 被阅读0次

卡尔曼滤波及其无人驾驶应用
图文并茂，卡曼滤波
iOS-卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波
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卡尔曼滤波

本文是国外博主Bzarg在2015年写的一篇图解。虽然是几年前的文章，但是动态定位、自动导航、时间序列模型、卫星导航——卡尔曼滤波的应用范围依然非常广。

什么是卡尔曼滤波？

对于这个滤波器，我们几乎可以下这么一个定论：只要是存在不确定信息的动态系统，卡尔曼滤波就可以对系统下一步要做什么做出有根据的推测。即便有噪声信息干扰，卡尔曼滤波通常也能很好的弄清楚究竟发生了什么，找出现象间不易察觉的相关性。因此卡尔曼滤波非常适合不断变化的系统，它的优点还有内存占用较小（只需保留前一个状态）、速度快，是实时问题和嵌入式系统的理想选择。

本文会用大量清晰、美观的图片和颜色来解释这个概念，读者只需具备概率论和矩阵的一般基础知识。

我们能用卡尔曼滤波做什么？

让我们举个例子：你造了一个可以在树林里四处溜达的小机器人，为了让它实现导航，机器人需要知道自己所处的位置。

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也就是说，机器人有一个包含位置信息和速度信息的状态 ${\vec x_k}$ :

${\vec x_k} = \left( {\vec p,\vec v} \right)$

注意，在这个例子中，状态是位置和速度，放进其他问题里，它也可以是水箱里的液体体积、汽车引擎温度、触摸板上指尖的位置，或者其他任何数据。

我们的小机器人装有GPS传感器，定位精度10米。虽然一般来说这点精度够用了，但我们希望它的定位误差能再小点，毕竟树林里到处都是土坑和陡坡，如果机器人稍稍偏了那么几米，它就有可能滚落山坡。所以GPS提供的信息还不够充分。

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我们也可以预测机器人是怎么移动的：它会把指令发送给控制轮子的马达，如果这一刻它始终朝一个方向前进，没有遇到任何障碍物，那么下一刻它可能会继续坚持这个路线。但是机器人对自己的状态不是全知的：它可能会逆风行驶，轮子打滑，滚落颠簸地形……所以车轮转动次数并不能完全代表实际行驶距离，基于这个距离的预测也不完美。

这个问题下，GPS为我们提供了一些关于状态的信息，但那是间接的、不准确的；我们的预测提供了关于机器人轨迹的信息，但那也是间接的、不准确的。

但以上就是我们能够获得的全部信息，在它们的基础上，我们是否能给出一个完整预测，让它的准确度比机器人搜集的单次预测汇总更高？用了卡尔曼滤波，这个问题可以迎刃而解。

卡尔曼滤波眼里的机器人问题

还是上面这个问题，我们有一个状态，它和速度、位置有关：

${\vec x_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} p \\ v \end{array}} \right]$

我们不知道它们的实际值是多少，但掌握着一些速度和位置的可能组合，其中某些组合的可能性更高：

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卡尔曼滤波假设两个变量（在我们的例子里是位置和速度）都应该是随机的，而且符合高斯分布。每个变量都有一个均值 $\mu$ ，它是随机分布的中心；有一个方差 ${\sigma ^2}$ ，它衡量组合的不确定性。

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在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着我们不能从一个变量推测另一个变量。那么如果位置和速度相关呢？如下图所示，机器人前往特定位置的可能性取决于它拥有的速度。

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这不难理解，如果基于旧位置估计新位置，我们会产生这两个结论：如果速度很快，机器人可能移动得更远，所以得到的位置会更远；如果速度很慢，机器人就走不了那么远。

这种关系对目标跟踪来说非常重要，因为它提供了更多信息：一个可以衡量可能性的标准。这就是卡尔曼滤波的目标：从不确定信息中挤出尽可能多的信息！

为了捕获这种相关性，我们用的是协方差矩阵。简而言之，矩阵的每个值是第 $i$ 个变量和第 $j$ 个变量之间的相关程度（由于矩阵是对称的， $i$ 和 $j$ 的位置可以随便交换）。我们用 $\Sigma$ 表示协方差矩阵，在这个例子中，就是 ${\Sigma _{ij}}$

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用矩阵描述问题

为了把以上关于状态的信息建模为高斯分布（图中色块），我们还需要 $k$ 时的两个信息：最佳估计 ${\hat x_k}$ (均值，也就是 $\mu$ )，协方差矩阵 $P_k$ 。（虽然还是用了位置和速度两个变量，但只要和问题相关，卡尔曼滤波可以包含任意数量的变量）

${\hat x_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {position} \\ {velocity} \end{array}} \right]$
${P_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Sigma _{pp}}}&{{\Sigma _{pv}}} \\ {{\Sigma _{vp}}}&{{\Sigma _{vv}}} \end{array}} \right]$

接下来，我们要通过查看当前状态（k-1时）来预测下一个状态（k时）。这里我们查看的状态不是真值，但预测函数无视真假，可以给出新分布：

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我们可以用矩阵 $F_k$ 表示这个预测步骤：

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它从原始预测中取每一点，并将其移动到新的预测位置。如果原始预测是正确的，系统就会移动到新位置。这是怎么做到的？为什么我们可以用矩阵来预测机器人下一刻的位置和速度？下面是个简单公式：

${p_k} = {p_{k - 1}} + \Delta t{v_{k - 1}}$
${v_k} = {v_{k - 1}}$

换成矩阵形式：

$\begin{gathered} {{\hat x}_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\Delta t} \\ 0&1 \end{array}} \right]{{\hat x}_{k - 1}} \hfill \\ = {F_k}{{\hat x}_{k - 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

这是一个预测矩阵，它能给出机器人的下一个状态，但目前我们还不知道协方差矩阵的更新方法。这也是我们要引出下面这个等式的原因：如果我们将分布中的每个点乘以矩阵A，那么它的协方差矩阵会发生什么变化？

$\begin{gathered} Cov\left( x \right) = \sum \hfill \\ Cov\left( {Ax} \right) = A\sum {A^T} \hfill \\ \end{gathered}$

把这个式子和上面的最佳估计 ${\hat x_k}$ 结合，可得：

$\begin{gathered} {{\hat x}_k} = {F_k}{{\hat x}_{k - 1}} \hfill \\ {P_k} = {F_k}{P_{k - 1}}F_k^T \hfill \\ \end{gathered}$

外部影响

但是，除了速度和位置，外因也会对系统造成影响。比如模拟火车运动，除了列车自驾系统，列车操作员可能会手动调速。在我们的机器人示例中，导航软件也可以发出停止指令。对于这些信息，我们把它作为一个向量 ${\vec u_k}$ ，纳入预测系统作为修正。

假设油门设置和控制命令是已知的，我们知道火车的预期加速度 $a$ 。根据运动学基本定理，我们可得：

$\begin{gathered} {p_k} = {p_{k - 1}} + \Delta t{v_{k - 1}} + \frac{1}{2}a\Delta {t^2} \hfill \\ {v_k} = \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{{v_{k - 1}} + a\Delta t} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

把它转成矩阵形式：

$\begin{gathered} {{\hat x}_k} = {F_k}{{\hat x}_{k - 1}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\Delta {t^2}}}{2}} \\ {\Delta t} \end{array}} \right]a \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ = {F_k}{{\hat x}_{k - 1}} + {B_k}{{\vec u}_k}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

${{B_k}}$ 是控制矩阵， ${{{\vec u}_k}}$ 是控制向量。如果外部环境异常简单，我们可以忽略这部分内容，但是如果添加了外部影响后，模型的准确率还是上不去，这又是为什么呢？

外部不确定性

当我们监控无人机时，它可能会受到风的影响；当我们跟踪轮式机器人时，它的轮胎可能会打滑，或者粗糙地面会降低它的移速。这些因素是难以掌握的，如果出现其中的任意一种情况，预测结果就难以保障。

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如上图所示，加上外部不确定性后， ${\hat x_{k - 1}}$ 的每个预测状态都可能会移动到另一点，也就是蓝色的高斯分布会移动到紫色高斯分布的位置，并且具有协方差 $Q_k$ 。换句话说，我们把这些不确定影响视为协方差 $Q_k$ 的噪声。

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这个紫色的高斯分布拥有和原分布相同的均值，但协方差不同。

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我们在原式上加 $Q_k$

$\begin{gathered} {{\hat x}_k} = {F_k}{{\hat x}_{k - 1}} + {B_k}{{\vec u}_k} \hfill \\ {P_k} = {F_k}{P_{k - 1}}F_k^T + {Q_k} \hfill \\ \end{gathered}$

简而言之，
新的最佳估计是基于原最佳估计 和已知外部影响校正后得到的预测。
新的不确定性是基于原不确定性 和已知外部影响得到的预测。

现在，有了这些概念介绍，我们可以把传感器数据输入其中。

通过测量来细化估计值

我们可能有好几个传感器，它们一起提供有关系统状态的信息。传感器的作用不是我们关心的重点，它可以读取位置，可以读取速度，重点是，它能告诉我们关于状态的间接信息——它是状态下产生的一组读数。

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请注意，读数的规模和状态的规模不一定相同，所以我们把传感器读数矩阵设为 $H_k$ 。

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把这些分布转换为一般形式:

$\begin{gathered} {{\vec \mu }_{\exp ected}} = {H_k}{{\hat x}_k} \hfill \\ {\Sigma _{\exp ected}} = {H_k}{P_k}H_k^T \hfill \\ \end{gathered}$

卡尔曼滤波的一大优点是擅长处理传感器噪声。换句话说，由于种种因素，传感器记录的信息其实是不准的，一个状态事实上可以产生多种读数。

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我们将这种不确定性（即传感器噪声）的协方差设为 $R_k$ ，读数的分布均值设为 $z_k$ 。现在我们得到了两块高斯分布，一块围绕预测的均值，另一块围绕传感器读数。

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如果要生成靠谱预测，模型必须调和这两个信息。也就是说，对于任何可能的读数 $(z_1,z_2)$ ，这两种方法预测的状态都有可能是准的，也都有可能是不准的。重点是我们怎么找到这两个准确率。

最简单的方法是两者相乘

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两块高斯分布相乘后，我们可以得到它们的重叠部分，这也是会出现最佳估计的区域。换个角度看，它看起来也符合高斯分布：

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事实证明，当你把两个高斯分布和它们各自的均值和协方差矩阵相乘时，你会得到一个拥有独立均值和协方差矩阵的新高斯分布。最后剩下的问题就不难解决了：我们必须有一个公式来从旧的参数中获取这些新参数！

结合高斯

让我们从一维看起，设方差为 ${\sigma ^2}$ ，均值为 $\mu$ ，一个标准一维高斯钟形曲线方程如下所示：

${\rm N}\left( {x,\mu ,\sigma } \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$

那么两条高斯曲线相乘呢？

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${\rm N}\left( {x,{\mu _0},{\sigma _0}} \right) \cdot {\rm N}\left( {x,{\mu _1},{\sigma _1}} \right) = {\rm N}\left( {x,\mu ',\sigma '} \right)$

把这个式子按照一维方程进行扩展，可得：

$\begin{gathered} \mu ' = {\mu _0} + \frac{{\sigma _0^2\left( {{\mu _1} - {\mu _0}} \right)}}{{\sigma _0^2 + \sigma _1^2}} \hfill \\ \sigma {'^2} = \sigma _0^2 - \frac{{\sigma _0^4}}{{\sigma _0^2 + \sigma _1^2}} \hfill \\ \end{gathered}$

如果有些太复杂，我们用 $k$ 简化一下：

$\begin{gathered} k = \frac{{\sigma _0^2}}{{\sigma _0^2 + \sigma _1^2}} \hfill \\ \mu ' = {\mu _0} + k\left( {{\mu _1} - {\mu _0}} \right) \hfill \\ \sigma {'^2} = \sigma _0^2 - k\sigma _0^2 \hfill \\ \end{gathered}$

以上是一维的内容，如果是多维空间，把这个式子转成矩阵格式：

$\begin{gathered} K = {\Sigma _0}\left( {{\Sigma _0} + {\Sigma _1}} \right) \hfill \\ \vec \mu ' = {{\vec \mu }_0} + K\left( {{{\vec \mu }_1} - {{\vec \mu }_0}} \right) \hfill \\ \Sigma ' = {\Sigma _0} - K{\Sigma _0} \hfill \\ \end{gathered}$

这个矩阵 $K$ 就是我们说的卡尔曼增益 !!

把它们结合在一起

截至目前，我们有用矩阵 $\left( {{\mu _0},{\Sigma _0}} \right) = \left( {{H_k}{{\hat x}_k},{H_k}{P_k}H_k^T} \right)$ 预测的分布，有用传感器读数 $\left( {{\mu _1},{\Sigma _1}} \right) = \left( {{{\vec z}_k},{R_k}} \right)$ 预测的分布。把它们代入上节的矩阵等式中

$\begin{gathered} {H_k}\hat x{'_k} = {H_k}{{\hat x}_k} + K\left( {{{\vec z}_k} - {H_k}{{\hat x}_k}} \right) \hfill \\ {H_k}P{'_k}H_k^T = {H_k}{P_k}H_k^T - K{H_k}{P_k}H_k^T \hfill \\ \end{gathered}$

相应的，卡尔曼增益就是：

$K = {H_k}{P_k}H_k^T{\left( {{H_k}{P_k}H_k^T + {R_k}} \right)^{ - 1}}$

考虑到 $K$ 里还包含着一个 $H_k$ ，我们再精简一下上式：

$\begin{gathered} \hat x{'_k} = {{\hat x}_k} + K'\left( {{{\vec z}_k} - {H_k}{{\hat x}_k}} \right) \hfill \\ P{'_k} = {P_k} - K'{H_k}{P_k} \hfill \\ K' = {P_k}H_k^T{\left( {{H_k}{P_k}H_k^T + {R_k}} \right)^{ - 1}} \hfill \\ \end{gathered}$