Two-stage predictions of evolutionary dynamics during the rumor dissemination

谣言传播由两个阶段组成，线性+拐点+非线性

模型

个体分为两种：receptor、source，receptor在时间t转化为source的概率为 $π_{it}$

个体阈值 $Threshold_i$ 代表了个体 $i$ 传播谣言需要克服的阻碍， $Threshold_i = Prudent_i×Trust_i×Distance_i$ $Prudent_i$ 代表个体对谣言的态度， $Trust_i$ 代表个体的社会信任度， $Distance_i$ 代表个体与传播源的距离。为了体现社会中个体间的异质性，文章将 $Prudent_i$ 与 $Trust_i$ 设为正态分布，对于 $Distance_i$ 研究将在方阵上展开。

"谣言听了一百次，也便成了真"，文章利用个体听到谣言的累积次数代表个体用以冲破传播阻碍 $Threshold_i$ ，成为传播者source的因素，个体每听一次谣言 $Heard_i(t)= Heard_i(t − 1)+1，$ 否则 $Heard_i(t)= Heard_i(t − 1)$ 只要 $Heard_i(t)$ 低于固定的阈值，这个个体听到谣言不会传播。一旦达到或超过了阈值线，代理就会将类的属性从receptor更改为一个source*。

结果和预测

谣言传播的进化动力学

$sd_1、sd_2$ 分别是 $Prudent_i、Trust_i$ 的标准差，代表了个体差异即网络异质的程度。实验表明更大的网络的异质程度可以促进谣言的传播。

阶段转变及拐点D

抽取了前述实验的四条曲线来具体观察。
状态转变的出现可能是由以下两个原因：

现有邻里的限制。在早期，可用邻居的数量相当多。但是，在后期(D点之后)，往往没有足够的邻居

个体的异质性。在个体的异质性条件下，存在一些阈值非常大的个体。他们需要更长的时间才能达到超过 $Threshold_i$ 的 $Heard_i(t)$ 。

拐点D的预测

从前图中可以看到，更大的异质性会促使拐点更早地出现。因此，异质性在很大程度上决定或塑造了谣言传播的演化曲线或动力学。因此，可以使用 $sd_1、sd_2$ 预测拐点D。
文章利用前述实验中441条曲线拟合如下两种模型：
$R^2$ 分别为97.98%和97.75%。两模型都表明，D似乎有一个最大值或限制(斜率)，即截距 $β_0$ =821.197。 $β_1、β_0$ 都为负数，也印证了异质性减小了D，即促进了阶段转移。

线性阶段的预测

文章利用前述441次实验拐点之前的数据拟合如下一阶线性模型：
$R^2$ 大部分都大于99%，最小的为98.5%。另外当异质程度较小时，线性系数缓慢增长；异质程度变大时，线性系数开始急速增大。

非线性阶段的预测

文章利用前述441次实验拐点之后的数据拟合如下二阶线性模型(二次项的系数应为 $β_2^k$ )：
$R^2$ 全部大于99%， $β^k_0$ 的分布十分接近均值的正态分布， $β_1^k、β_2^k$ 均为非对称长尾分布，可以用他们的均值或中值 $-0.3955、0.002944、−1.512e−6$ 来作为全局系数。
随后文章发现了异质性对模型参数的影响并对它进行了研究：

两阶段的整合

两阶段直接整合后的曲线具有一些异常特征：

不连续。对于所有情况，在拐点d处都存在跳跃。

极端值。谣言传播百分比的最大值应该是100%，但在某些情况下，我们看到的数值大于1。

负趋势。非线性阶段预测应用二次函数，导致曲线有一个峰值，这在实际中是不正确的。

刚性过渡。每条预测曲线拐点d附近的曲线不像模拟中那样平滑。

基于此，尽管预测精度总体达到了98%以上，目前的预测曲线只能被称为粗糙预测曲线(Rough Predicted Curves, RPCs)。

平滑曲线预测

为了得到平滑预测曲线(Smoothed Predicted Curved, SPCs)，可作如下调整：

不连续。取两阶段端点的平均值作为拐点。

极端值。在100%处进行阶段，抛弃后续曲线。

负趋势。在峰值处截断曲线，抛弃后续曲线。

刚性过渡。选用 $[T_D^k-20, T_D^k+20]$ 阶段累积传播百分比的平均值作为D点的累积传播百分比值。