n元模型

作者: Milkmilkmilk | 来源:发表于2018-10-12 16:24 被阅读0次

区分好语言建模和语言模型。
理解好直接预测 $P(w_1,w_2,w_3,...,w_l)$ 的问题：
(1). 数据量需要庞大（为什么？）
(2). 计算量庞大。
如何解决这个问题？
(1). 条件概率链式法则
(2). 马尔可夫假设
理解n元模型的计算量。
理解n不同的时候的不同情况。
(1). n大的时候：
-有更多的语境信息。
-计算量大，数据量要求大，计算出来的概率结果不可靠。
(2). n小的时候：
-比较少的语境信息。
-计算量小，数据量要求小，计算出来的概率结果可靠。

n-元模型的训练：参数估计。不是隐马尔可夫，可以直接估计，可以使用相对频率估计，这种时候最大似然估计（MLE）和相对频率估计是一样的。

那么这里描述一下是怎么训练和跑出结果的：
考虑语料库：
<bos> John read Moby Dick <eos>
<bos> Mary read a different book <eos>
<bos> She read a book by Cher <eos>
对于bin-gram，我们会计算
$P(John|<bos>) = \frac{c(<bos>John)}{c(<bos>)} = \frac{1}{3}$
$P(book|a) = \frac{c(a book)}{a}$
...
所以这样我们就训练好了。训练的结果就是一个一个条件概率库。
那么对于一个句子。我们来计算句子的概率：
比如John read a book
所以求解如下：
$P(John read a book) = P(John|<bos>)*P(read|John)*P(a|read)*P(book|a)*P(<eos>|book)$

处理模型中可能碰到的问题:
(1). 计算句子概率的时候使用概率连乘，容易造成数字很小，应该扩张一下，可以使用对数概率。
(2). 自然语言处理中的数据是十分稀疏的，很有可能某个词是没有出现的。那么这样会导致句子概率=0，这个是不符合常理的。

考虑解决办法：增大数据量？
但是根据Zipf定律，增大数据量是解决不了问题的。（增加的仍然是高频词）
甚至有数据显示：用150万词的训练语料来训练三元模型。同样来源的测试语料中仍旧有23%的三元组是没有出现过的。

解决办法：平滑。

平滑方法：
Add_one平滑：规定每个n-元组比真实出现的次数多一次。

但是会出现两个问题：

不公平，“富人不公平”。
假设不公平。没有出现的元组都给了他相同的概率。

因为NLP中很容易产生数据稀疏问题，所以平滑至关重要。之后另开一篇，讲各种平滑方法。

语言模型的评价-交叉熵。
针对X这个随机变量。（在n-gram当中就是n-元组的概率分布）那么会存在一个理想中的分布p(x).我们通过训练数据训练出来的是q(x)。那么怎么衡量，不同q(x)对p(x)更加接近呢？使用交叉熵。
$H(X,q) = -\sum_{x\epsilon X}p(x)log q(x)$
具体的操作：
比如说一元组模型。我们通过训练数据训练出模型，对于每个词w我们有对应的概率输出。
那么使用测试数据对模型进行评估。
设测试数据为 $T = w_1w_2w_3...w_{N^T}$
那么我们可以计算出 $p(x)$ 也就是
各种 $p(w)$ （注意了。 $w_1,w_2...,w_n$ 有可能是相同的。）所以引入 $V_T$ 来表示测试数据中出现w的种类数目。
从而交叉熵有以下：
$p(w) = \frac{c(w)}{N^T}$
$\begin{equation} \begin{aligned} H(T,q)& = -\sum_{w\epsilon V_T} p(w)log q(w)\\ &=-\frac{1}{N^T}\sum_{w\epsilon V_T}c(w)*log q(w)\\ &=-\frac{1}{N^T}\sum_{w\epsilon T} log q(w)\\ &=-\frac{1}{N^T}log\prod_{w\epsilon T} q(w)\\ &=-\frac{1}{N^T}log q(T)\\ \end{aligned} \end{equation}$
值得注意的是w是一个一元组。 $V_T$ 是T这个测试数据中w的不同种类数目。而上述的T中一共有 $N^T$ 个w。

那么接下来让我们考虑n-gram时候的模型评估。
引用上面的符号。 $T = w_1w_2w_3...w_{N^T}$ 、Type: $V_T$ 。
考虑我们应该评估什么，因为通过训练，我们获得的是条件概率 $p(w_i|w_{i-n+1}...w_{i-2}w_{i-1})$ 。因此理论上我们应该是对条件概率分布求交叉熵。也就是求
$p(w_n|w_1w_2...w_{n-1}) = \frac{c(w_1w_2...w_n)}{c(w_1w_2...w_{n-1})}$
$H(X,q) = \sum_{w_1w_2w_3...w_n\epsilon V_T}p(w_n|w_1w_2...w_{n-1})*logq(w_n|w_1w_2...w_{n-1})$
但是实际中求的时候使用的是
$p(w_1w_2...w_{n-1}w_{n}) = \frac{c(w_1w_2...w_n)}{N^T}$
$\begin{equation} \begin{aligned} H(X,q) &= -\sum_{w_1w_2w_3...w_n\epsilon V_T}p(w_1w_2...w_{n-1}w_{n})*logq(w_n|w_1w_2...w_{n-1})\\ &=-\frac{1}{N^T}\sum_{w_1w_2w_3...w_n\epsilon V_T}c(w_1w_2...w_{n-1}w_{n})*logq(w_n|w_1w_2...w_{n-1})\\ &=-\frac{1}{N^T}\sum_{w_1w_2w_3...w_n\epsilon T}logq(w_n|w_1w_2...w_{n-1})\\ &=-\frac{1}{N^T}logq(T)\\ \end{aligned} \end{equation}$
个人认为可以的原因是对于每个项都只差一个常数级别。

n元模型

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