一阶谓词演算或一阶逻辑（FOL）允许量化陈述的公式，比如"存在着x，"(x)或"对于任何x，"（砢），这里的x是论域(domainofdiscourse)的成员。一阶（递归）公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理，可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的""叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以，表达"是黄色"或"喜欢椰菜"分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。性质可以被当作物体只凭自身的一种构成（form），它可以拥有其他性质。性质被认为有别于拥有它的物体。所以一阶逻辑不能表达下列陈述，"对于所有的性质P，"或"存在着性质P，"。但是，一阶逻辑足够强大了，它可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学。把量化限制于个体（individual）使它难于用于拓扑学目的，但它是在数学底层经典的逻辑理论。它是比句子逻辑强比二阶逻辑弱的理论。
许多逻辑学家坚持认为，只有一阶逻辑才是逻辑，比如奎因。由于二阶逻辑是以谓词为变元，因此使性质或关系这样的东西成为实体，由此会产生与本体论有很大不同的怪异现象。
一般我们说，一元谓词表示性质，二元谓词表示关系。这也说明，关系是比较复杂的东西，关系的表述也是比较复杂的。由于一阶逻辑的语言包含这几种基本要素，因此可以说，一阶逻辑有比较丰富的表现力。同时，它也显得比较直观，比较自然，与我们的一般认识和表达比较一致。许多人认为一阶逻辑是表达本体论的逻辑。
现代逻辑以一阶逻辑为基础。一阶逻辑也称为经典逻辑。在一阶逻辑的基础上，又发展出以模态逻辑为基础的非经典逻辑。因此也可以说，一阶逻辑是模态逻辑的基础，模态逻辑一般来说是非经典逻辑的基础。
高阶逻辑
高阶逻辑亦称“广义谓词逻辑”、“高阶谓词逻辑”。一阶逻辑的推广系统，谓词逻辑的重要组成部分。谓词逻辑有一阶逻辑和高阶逻辑之分。在一阶逻辑中，量词只能用于个体变元，取消这一限制条件，允许量词也可用于命题变元和谓词变元，由此构造起来的谓词逻辑就是高阶逻辑。公理化的高阶逻辑系统或高阶逻辑的自然推理系统又称为广义谓词演算或高阶谓词演算。 [1]
中文名
高阶逻辑
释 义
接受其他谓词作为参数的谓词
应 用
实 例
构造演算
目录
1 应用
2 性质
3 演算
应用
高阶逻辑在数学中，高阶逻辑在很多方面有别于一阶逻辑。其一是变量类型出现在量化中；粗略的说，一阶逻辑中禁止量化谓词。允许这么做的系统请参见二阶逻辑。
高阶逻辑区别于一阶逻辑的其他方式是在构造中允许下层的类型论。
性质
高阶逻辑更加富有表达力，但是它们的性质，特别是有关模型论的，使它们对很多应用不能表现良好。作为哥德尔的结论，经典高阶逻辑不容许(递归的公理化的)可靠的和完备的证明演算；这个缺陷可以通过使用 Henkin 模型来修补。
高阶逻辑的一个实例是构造演算。
高阶函数在数学和计算机科学中，高阶函数是至少满足下列一个条件的函数:
接受一个或多个函数作为输入输出一个函数在数学中它们也叫做算子(运算符)或泛函。微积分中的导数就是常见的例子，因为它映射一个函数到另一个函数。
演算
在无类型 lambda 演算，所有函数都是高阶的；在有类型 lambda 演算（大多数函数式编程语言都从中演化而来）中，高阶函数一般是那些函数型别包含多于一个箭头的函数。在函数式编程中，返回另一个函数的高阶函数被称为Curry化的函数。
在很多函数式编程语言中能找到的 map 函数是高阶函数的一个例子。它接受一个函数 f 作为参数，并返回接受一个列表并应用 f 到它的每个元素的一个函数。
高阶函数的其他例子包括函数复合、积分和常量函数 λx.λy.x。
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