图解堆结构、堆排序及堆的应用

前言

上一次我们介绍了选择类排序中的简单选择排序，简单归简单，但是时间复杂度是O(n^2)，这次我们介绍另一种时间复杂度为O(nlogn)的选择类排序方法叫做堆排序。

我将从以下几个方面介绍：

• 堆的结构
• 堆排序
• 优化的堆排序
• 原地堆排序
• 堆的应用

堆的结构

什么是堆？我给出了百度的定义，如下：

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

堆总是满足下列性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
• 堆总是一棵完全二叉树。

将根节点最大的堆叫做最大堆，根节点最小的堆叫做最小堆。

下图展示了一个最大堆的结构：

image

可见，堆中某个节点的值总是小于等于其父节点的值。

由于堆是一棵完全二叉树，因此我们可以对每一层进行编号，如下：

image

我们完全可以使用数组存放这些元素，那如何确定存放的位置呢？利用如下公式：

父节点：parent(i) = (i-1)/2

左孩子：leftChild(i) = 2i+1*

右孩子：rightChild(i) = 2i+2*

相关代码如下：

private int parent(int index) {
    return (index - 1) / 2;
}

private int leftChild(int index) {
    return index * 2 + 1;
}

private int rightChild(int index) {
    return index * 2 + 2;
}

添加元素

向堆中添加元素的步骤如下：

1. 将新元素放到数组的末尾。
2. 获取新元素的父亲节点在数组中的位置，比较新元素和父亲节点的值，如果父亲节点的值小于新元素的值，那么两者交换。以此类推，不断向上比较，直到根节点结束。

下图展示了添加元素的过程：

image

添加元素的过程也叫做siftUp，代码如下：

// Array是自己实现的动态数组
private Array<E> data;

public void add(E e) {
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

private void siftUp(int k) {
    while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
        data.swap(k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

删除元素

删除元素其实就是删除堆顶的元素，步骤如下：

1. 让数组最后一个元素和数组第一个元素（堆顶元素）交换。
2. 交换完后，删除数组最后的元素。
3. 让堆顶元素和左右孩子节点比较，如果堆顶元素比左右孩子节点中最大的元素还要大，那么满足堆的性质，直接退出。否则如果堆顶元素比左右孩子节点中最大的元素小，那么堆顶元素就和最大的元素交换，然后继续重复执行以上操作，只不过这时候把堆顶元素称为父节点更好。

下图展示了删除元素的过程：

image

删除元素的过程也叫做siftDown，代码如下：

// 这里我们不命名为remove，命名为extractMax，抽取堆顶最大元素
public E extractMax() {
    E ret = findMax();
    // 让最后一个叶子节点补到根节点，然后让它下沉
    // (为什么是取最后一个叶子节点，因为即使取走最后一个叶子节点，依旧能保持是一棵完全二叉树)
    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);
    return ret;
}

private void siftDown(int k) {
    while (leftChild(k) < data.getSize()) {
        int j = leftChild(k);
        if (j + 1 < data.getSize() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
            j = rightChild(k);
            // data[j]是leftChild和rightChild中的最大值
        }

        // 如果父节点比左右孩子中的最大值还要大，那么说明没有问题，直接退出
        if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0) {
            break;
        }
        // 否则交换
        data.swap(k, j);
        k = j;
    }
}

最大堆的完整代码

堆排序

通过上面的介绍，我们应该明白了堆的结构，堆的添加和删除元素操作是如何完成的。那么对于堆排序来说，就是小菜一碟了，因为堆排序就是用到了堆的添加和删除操作，步骤如下：

1. 将数组中元素一个个添加到堆（最大堆）中。
2. 添加完成后，每次取出一个元素倒序放入到数组中。

堆排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    // MaxHeap是自己实现的最大堆
    MaxHeap<Comparable> maxHeap = new MaxHeap<>(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        maxHeap.add(arr[i]);
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        arr[i] = maxHeap.extractMax();
    }
}

堆排序完整代码

优化的堆排序

在上述的堆排序中，我们在将数组中元素添加到堆时，都是一个个添加，是否有优化的方法呢？答案是有的，我们可以将数组直接转换成堆，这种操作叫做Heapify。

Heapify就是从最后一个节点开始，判断父节点是否比孩子节点大，不是就siftDown。Heapify操作的时间复杂度是O(n)，相比一个个添加的时间复杂度是O(nlogn)，可见性能提升了不少。

假设我们有数组：[15, 18, 12, 16, 22, 28, 16, 45, 30, 52]，下图展示了对其进行Heapify的过程。

image

优化的堆排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    // MaxHeap是自己实现的最大堆，当传入数组作为构造参数时，会对其进行heapify
    MaxHeap<Comparable> maxHeap = new MaxHeap<>(arr);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        arr[i] = maxHeap.extractMax();
    }
}

// 构造方法
public MaxHeap(E[] arr) {
    data = new Array<>(arr);
    // 将数组堆化的过程就是从最后一个节点开始，判断父节点是否比子节点大，不是就siftDown
    for (int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

优化的堆排序完整代码

原地堆排序

原地堆排序可以让我们的空间复杂度变为O(1)，因为不占用新的数组。

原地堆排序类似于堆的删除元素，步骤如下：

1. 对数组Heapify。
2. 我们让数组最后一个元素和第一个元素交换，这时数组最后一个元素就是最大的。
3. 然后让数组第一个元素siftDown，这样除去最后一个元素，前面又是一个最大堆。
4. 我们让数组倒数第二个元素和第一个元素交换，这时数组倒数第二个元素就是次最大的。
5. 然后让数组第一个元素siftDown，这样除去最后一个元素和倒数第二个元素，前面又是一个最大堆。
6. 以此类推，像这样倒着排，即可完成从小到大的排序。

下图展示了原地堆排序的过程：

image

原地堆排序代码：

public static void sort(Comparable[] arr) {
    int n = arr.length;
    // heapify
    for (int i = parent(n-1); i >= 0; i--) {
        siftDown(arr, n, i);
    }

    // 核心代码
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr, 0, i);
        siftDown(arr, i, 0);
    }
}

private static void swap(Object[] arr, int i, int j) {
    Object t = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = t;
}

private static void siftDown(Comparable[] arr, int n, int k) {

    while (leftChild(k) < n) {
        int j = leftChild(k);
        if (j + 1 < n && arr[j + 1].compareTo(arr[j]) > 0) {
            j = rightChild(k);
        }

        // 如果父节点比左右孩子中的最大值还要大，那么说明没有问题，直接退出
        if (arr[k].compareTo(arr[j]) >= 0) {
            break;
        }

        // 否则交换
        swap(arr, k, j);
        k = j;
    }
}

原地堆排序完整代码

堆的应用

优先级队列

一旦我们掌握了堆这个数据结构，那么优先级队列的实现就很简单了，只需要弄清楚优先级队列需要有哪些接口就行。JDK 中自带的PriorityQueue就是用堆实现的优先级队列，不过需要注意PriorityQueue内部使用的是最小堆。

优先级队列完整代码

Top K 问题

Top K 问题就是求解前 K 个最大的元素或者最小的元素。元素个数不确定，数据量可能很大，甚至源源不断到来，但需要知道目前为止前 K 个最大或最小的元素。当然问题还可能变为求解第 K 个最大的元素或最小的元素。

通常我们有如下解决方案：

1. 使用JDK中自带的排序，如Arrays.sort()，由于底层使用的快速排序，所以时间复杂度为O(nlogn)。但是如果 K 取值很小，比如是 1，即取最大值，那么对所有元素排序就没有必要了。
2. 使用简单选择排序，选择 K 次，那么时间复杂度为O(n*K)，如果 K 大于 logn，那还不如快排呢！

上述两种思路都是假定所有元素已知，如果元素个数不确定，且数据源源不断到来的话，就无能为力了。

下面提供一种新的思路：

我们维护一个长度为 K 的数组，最前面 K 个元素就是目前最大的 K 个元素，以后每来一个新元素，都先找数组中的最小值，将新元素与最小值相比，如果小于最小值，则什么都不变，如果大于最小值，则将最小值替换为新元素。这样一来，数组中维护的永远是最大的 K 个元素，不管数据源有多少，需要的内存开销都是固定的，就是长度为 K 的数组。不过，每来一个元素，都需要找到最小值，进行 K 次比较，是否有办法能减少比较次数呢？

当然，这时候堆就要登场了，我们使用最小堆维护这 K 个元素，每次来新的元素，只需要和根节点比较，小于等于根节点，不需要变化，否则用新元素替换根节点，然后siftDown调整堆即可。此时的时间复杂度为O(nlogK)，相比上述两种方法，效率大大提升，且空间复杂度也大大降低。

Top K 问题代码：

public class TopK<E extends Comparable<E>> {

    private PriorityQueue<E> p;
    private int k;

    public TopK(int k) {
        this.k = k;
        this.p = new PriorityQueue<>(k);
    }

    public void addAll(Collection<? extends E> c) {
        for (E e : c) {
            add(e);
        }
    }

    public void add(E e) {
        // 未满k个时，直接添加
        if (p.size() < k) {
            p.add(e);
            return;
        }

        E head = p.peek();
        if (head != null && head.compareTo(e) >= 0) {
            // 小于等于TopK中的最小值，不用变
            return;
        }
        // 否则，新元素替换原来的最小值
        p.poll();
        p.add(e);
    }

    /**
     * 获取当前的最大的K个元素
     *
     * @param a   返回类型的空数组
     * @param <T>
     * @return TopK以数组形式
     */
    public E[] toArray(E[] a) {
        return p.toArray(a);
    }

    /**
     * 获取第K个最大的元素
     *
     * @return 第K个最大的元素
     */
    public E getKth() {
        return p.peek();
    }

    public static void main(String[] args) {
        TopK<Integer> top5 = new TopK<>(5);
        top5.addAll(Arrays.asList(88, 1, 5, 7, 28, 12, 3, 22, 20, 70));
        System.out.println("top5：" + Arrays.toString(top5.toArray(new Integer[0])));
        System.out.println("5th：" + top5.getKth());
    }

}

这里我们直接利用 JDK 自带的由最小堆实现的优先级队列PriorityQueue。

依此思路，可以实现求前 K 个最小元素，只需要在实例化PriorityQueue时传入一个反向比较器参数，然后更改add方法的逻辑。

中位数

堆也可以用于求解中位数，数据量可能很大且源源不断到来。

注意：如果元素个数是偶数，那么我们假定中位数取任意一个都可以。

有了上面的例子，这里就很好理解了。我们使用两个堆，一个最大堆，一个最小堆，步骤如下：

1. 添加的第一个元素作为中位数 m，最大堆维护 <= m 的元素，最小堆维护 >= m 的元素，两个堆都不包含 m。
2. 当添加第二个元素 e 时，将 e 与 m 比较，若 e <= m，则将其加入到最大堆中，否则加入到最小堆中。
3. 如果出现最小堆和最大堆的元素个数相差 >= 2，则将 m 加入元素个数少的堆中，然后让元素个数多的堆将根节点移除并赋值给 m。
4. 以此类推不断更新。

假设有数组[20, 30, 40, 50, 2, 4, 3, 5, 7, 8, 10]。

下图展示了整个操作的过程：

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求解中位数的代码：

public class Median<E extends Comparable<E>> {

    /**
     * 最小堆
     */
    private PriorityQueue<E> minP;

    /**
     * 最大堆
     */
    private PriorityQueue<E> maxP;

    /**
     * 当前中位数
     */
    private E m;

    public Median() {
        this.minP = new PriorityQueue<>();
        this.maxP = new PriorityQueue<>(11, Collections.reverseOrder());
    }

    private int compare(E e, E m) {
        return e.compareTo(m);
    }

    public void addAll(Collection<? extends E> c) {
        for (E e : c) {
            add(e);
        }
    }

    public void add(E e) {
        // 第一个元素
        if (m == null) {
            m = e;
            return;
        }

        if (compare(e, m) <= 0) {
            // 小于等于中值，加入最大堆
            maxP.add(e);
        } else {
            // 大于中值，加入最大堆
            minP.add(e);
        }

        if (minP.size() - maxP.size() >= 2) {
            // 最小堆元素个数多，即大于中值的数多
            // 将 m 加入到最大堆中，然后将最小堆中的根移除赋给 m
            maxP.add(m);
            m = minP.poll();
        } else if (maxP.size() - minP.size() >= 2) {
            minP.add(m);
            m = maxP.poll();
        }

    }

    public E getMedian() {
        return m;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Median<Integer> median = new Median<>();
        median.addAll(Arrays.asList(20, 30, 40, 50, 2, 4, 3, 5, 7, 8, 10));
        System.out.println(median.getMedian());
    }
}

image