2019/11/19 Caesar
前言
回归算法是一种有监督学习算法，用来建立自变量X和观测变量Y之间的映射关系，如果观测变量是离散的，则称其为分类Classification；如果观测变量是连续的，则称其为回归Regression。
线性回归模型试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测实值X的输出标记Y。在这个模型中，因变量Y是连续的，自变量X可以是连续或离散的。
在回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者关系可用一条直线近似表示，称为一元线性回归分析；如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线，对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。
1. 情景代入
下面我们可以用一个简单的例子来直观理解线性回归模型。
x=房子面积，y=房子价钱.png
从图像中我们可以发现房子价和房子面积之间，存在着一定的线性关系，似乎是在沿着某条直线上下随机波动，我们甚至可以找到一条直线串联大部分的点。
image.png
在二维平面中，这条直线的方程就是 y = wx + b，假设这条就是我们最佳拟合的直线 y = wx + b。对于每个样本点分别代入即可。为了防止正误差值和负误差值相抵的情况，使用绝对值来表示距离：
绝对值.PNG
但是在线性回归中，我们需要找极值，需要函数可导，而
捕获.PNG
不是一个处处可导的函数，因此很自然地想到可以使用：
捕获.PNG
对于所有样本则有：
捕获.PNG
那么，问题来了，如何得到 w 和 b 呢？显然?关键在于如何衡量 f(x) 与 y 之间的差别，均方误差是回归任务中最常用的性能度量，因此我们可试图让均方误差最小化，.而这种基于均方误差最小化进行模型求解的方法称为“最小二乘法”。在线性回归中，最小 乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。接下来介绍以下“最小二乘法”。
2. 最小二乘法
2.1 最小二乘法引入
还是刚才的房子的栗子，首先，把得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作 yi :
image.png
其次，把要猜测的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 y :
image.png
每个点都向 y 做垂线，垂线的长度就是 | y - yi | ，也可以理解为预测值和真实值之间的误差：
image.png
因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：
image.png
总的误差的平方就是：
image.png
法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德提出让总的误差的平方最小的 y 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。这就是最小二乘法，即：
image.png
这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：
image.png
可得：
image.png
2.2 线性回归中的应用
我们是要找到 a 和 b ，使得损失函数：
损失函数.PNG
尽可能的小。这里，将简单线性问题转为最优化问题。下面对函数的各个位置分量求导，导数为0的地方就是极值：
J（a, b) 对 b 进行求导：
.PNG
然后mb提到等号前面，两边同时除以m，等号右面的每一项相当于均值。
.PNG
此时将对 b 进行求导得到的结果
.PNG
代入上式中，得到：
.PNG
将上式进行整理，得到
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将上式继续进行整理：
.PNG
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这样在实现的时候简单很多。最终我们通过最小二乘法得到a、b的表达式：
.PNG
3. 评估模型
3.1 损失函数
损失函数是针对单个具体的样本而言的。表示的是模型预测的值与样本真实值之间的差距。在线性回归中，我们通常使用平方损失函数：
image.PNG
另外还有一些常用的损失函数：
image.png
损失函数是针对于单个样本的，但是一个训练数据集中存在N个样本，N个样本给出N个损失，如何进行选择呢？
3.2 风险函数
期望风险是损失函数的期望，用来表达理论上模型f(X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失。又叫期望损失/风险函数。
image.png
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3.3 经验风险
模型f(X)关于训练数据集的平均损失，称为经验风险或经验损失。
经验风险.png
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经验风险是对训练集中的所有样本点损失函数的平均最小化。经验风险越小说明模型f(X)对训练集的拟合程度越好，但是对于未知的样本效果怎么样呢？我们知道未知的样本数据（<X,Y>）的数量是不容易确定的，所以就没有办法用所有样本损失函数的平均值的最小化这个方法，那么怎么来衡量这个模型对所有的样本（包含未知的样本和已知的训练样本）预测能力呢？
3.4 期望风险
熟悉概率论的很容易就想到了用期望。没错！即假设X和Y服从联合分布P(X,Y).那么期望风险就可以表示为：
期望风险.png
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3.5 总结
3.5.1 损失函数、经验风险、期望风险
损失函数：针对单个样本，衡量预测值与真实值的差异程度。损失函数是理解经验风险和期望风险的基础。
经验风险：经验风险是局部的，基于训练集所有样本点，损失函数最小化的。经验风险函数是现实的，可求的。
期望风险：期望风险是全局的，基于所有样本点，损失函数最小化的。期望风险函数是理想化的，不可求的。
3.5.2
我们平时所说的损失函数一定是数据集维度的，所以是经验风险或期望风险的一种。
4. 最优化
4.1 凸优化
确定损失函数是完成机器学习算法关键的一步，一旦它确定了，剩下的就是求解最优化问题，这在数学上一般有标准的解决方案。
现将回归预测函数带入损失函数的定义，可以得到如下损失函数：
image.png
可以证明这个函数是凸函数。凸优化问题的局部最优解就是全局最优解，凸优化问题的研究较为成熟，当一个具体被归为一个凸优化问题，基本可以确定该问题是可被求解的。
4.2 梯度下降
得到对权重的梯度之后，可以用梯度下降进行更新。也可以直接寻找梯度为0的点来解决此问题，求解线性方程组，这就是经典的最小二乘法。
梯度下降算法的数学公式：
image.png
此公式的意义是：J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！
- α是什么含义？
α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！ - 为什么要梯度要乘以一个负号？
梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号。
5. 过拟合与欠拟合
后续补充
6. 正则化
后续补充
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