在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义
……续上回Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【7】
之前的篇章把各种Fibonacci数列的基本算法讨论过了
那么是否可以做到更快呢，有什么加速手段
这篇来说下
首先第一个手段是改进算法的加速
16. 快速平方的矩阵解法
在Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【5】这篇里说过矩阵解法
矩阵法虽然跟二进制模幂解法时间复杂度一样，可算第100万项斐波那契数用时是二进制模幂解法的10倍。这是因为这算法的时间常数项大
里面用到了矩阵乘法，通用矩阵乘法算法的时间复杂度是阶数n的O(n^3)。也就是对一个二阶矩阵，分解步骤中有8次乘法，非常耗时，造成矩阵解法时间常数项很大
之前程序是直接用的numpy库做矩阵乘法，numpy库里就是通用矩阵乘法算法
然而，对斐波那契数的矩阵解法，只需对二阶矩阵做运算。而其中的二阶矩阵平方步骤是有更小时间复杂度算法的
二阶矩阵快速平法算法的时间复杂度为阶数2的O(2^(log2(5)))
也就是二阶矩阵一次平方运算分解步骤中只用做5次乘法。比通用矩阵算法的8次降低了不少
但是，对斐波那契数矩阵解法而言，矩阵乘法步骤是其中的时间常数项，缩短矩阵乘法用时只是降低整个算法的常数项，可并不降低整个算法的时间复杂度
下面就是我写的程序
import numpy
import gmpy2
def fast_power_of_second_order_matrix(input_matrix: 'matrix', exponential: int) -> 'matrix':
assert isinstance(exponential, int), 'Exponential is an error of non-integer type.'
assert exponential >= 0, 'The exponent cannot be negative.'
assert input_matrix.shape == (2, 2), 'It can only be a second-order matrix'
if numpy.min_scalar_type(input_matrix) in (numpy.dtype(bool), numpy.dtype(int), numpy.dtype(float), numpy.dtype(complex)):
output_matrix = numpy.asmatrix(numpy.identity(2, dtype = numpy.min_scalar_type(input_matrix))) #根据输入矩阵的标量类型，把output_matrix初始化为相同类型的单位矩阵
elif numpy.issubsctype(input_matrix, numpy.dtype(object)):
for matrix_element in input_matrix.flat:
if type(matrix_element) not in (type(gmpy2.mpz()), type(gmpy2.xmpz()), type(gmpy2.mpq()), type(gmpy2.mpfr()), type(gmpy2.mpc()), int, float):
raise TypeError('The matrix can only be of Boolean or numeric type.')
output_matrix = numpy.mat(((gmpy2.mpz(1), gmpy2.mpz(0)), (gmpy2.mpz(0), gmpy2.mpz(1)))) #初始化值为mpz类型的单位矩阵
else:
raise TypeError('The matrix can only be of Boolean or numeric type.')
def square_of_second_order_matrix(input_second_order_matrix: 'matrix') -> 'matrix':
output_second_order_matrix = numpy.copy(input_second_order_matrix)
sum_of_main_diagonal = output_second_order_matrix[0, 0] + output_second_order_matrix[1, 1]
product_of_antidiagonal = output_second_order_matrix[0, 1] * output_second_order_matrix[1, 0]
output_second_order_matrix[0, 0] **= 2
output_second_order_matrix[0, 0] += product_of_antidiagonal
output_second_order_matrix[0, 1] *= sum_of_main_diagonal
output_second_order_matrix[1, 0] *= sum_of_main_diagonal
output_second_order_matrix[1, 1] **= 2
output_second_order_matrix[1, 1] += product_of_antidiagonal
return output_second_order_matrix
intermediate_variable = numpy.copy(input_matrix)
while True:
if exponential & 1 == 1:
output_matrix *= intermediate_variable
if exponential == 1: break
intermediate_variable = square_of_second_order_matrix(intermediate_variable)
exponential >>= 1
return output_matrix
import numpy.matlib
from gmpy2 import mpz
def Fibonacci_sequence_06 (n: int) -> int: #参数n是表示求第n项Fibonacci数
'返回单项的矩阵解法'
assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'
Use_threshold_of_fast_power = 100000
if n >= 2:
fib_matrix = numpy.mat(((mpz(1), mpz(1)), (mpz(1), mpz(0))))
if n > Use_threshold_of_fast_power:
fib_matrix = fast_power_of_second_order_matrix(fib_matrix, n - 1)
else:
fib_matrix **= n - 1
return fib_matrix[0,0]
elif n == 1:
return 1
elif n == 0:
return 0
else:
return None
Fibonacci_sequence_06(1000000)
用算到第100万项Fibonacci数来测量下用时
Total time: 0.036093秒
比之前用通用矩阵乘法库的程序缩短了15%的时间
注意，那么一大段程序是有基础开销的
所以在非大数的时候用这个反而会不如通用库快
怎么办呢
加一个阈值判别。当N大于阈值之后，才用这个二阶矩阵快速平法算法，数不大时就调用通用库
搞定
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未完待续……
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