前言：自大学毕业后，基本没有关注过高等数学，但是通过这几年的工作经历来看，高等数学远远不是庙堂之上的一个公式而已，而是渗透到生活中的方方面面，可以说，人工智能的基础就是高等数学，高等数学都没学好，你想了解更前沿的科技基本上不可能，所以，在此，我把高等数学再次简单复习一遍。
高等数学 - 微积分
微分
如上图，在很短的瞬间△t，有一个很短的△S，这个很短的S除以很短的t，就是那一瞬间的速度，那这个瞬间速度就是导数。导数在玩什么花样？导数就是研究 S函数相对于自变量 t 的一个变化规律，这就是高等数学研究的东西。
不要把高等数学想象成太复杂的东西，包括后面的二重积分，三重积分，都是一样的。如果我们求出来这一点的导数，这一点的切线，我们就知道了，我们就可以把原函数弯曲的部分 近似的表示成切线的直线，所以有人说，微分就是把一个弯曲的东西扳成一段段直线。
积分是什么？积分正好相反，我知道这条线的瞬间速度，我通过积分一点点累计，把它还原成原来的曲线，计算出这条曲线的长度等信息。
导数
如上图，原函数求极限△x内的面积参考
积分
积分
如图，定积分就是求该曲线在 a b 区间的曲边梯形的面积大小。
微分和积分互为逆运算
一个函数反导后的函数式，就是不定积分式子（说白了就是已知斜率式子求反导面积式子）
求一个函数的面积，就是反导后的，在这个区间上的两个不定积分式子的差值，这就是定积分（说白了就是斜率式子的区间面积，就是反导后两个点的差值）
上述的这个函数是对应不定积分式子的斜率式子
一个函数的微分，只是求这个函数在某点的微小变化量。（这个微分变化量除以△x取极限后就是导数了，导数又叫微商，微分和△x的比值）
一个函数的导数，即是这个函数的斜率式子（说白了就是已知面积式子，求导后为斜率式子）
微分和积分的区别：从几何几何意义上来理解就很简单了，导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标变化率和横坐标变化率的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得Δx以后，纵坐标取得的增量。
对于函数f(x)，求导f'(x)=df(x)/dx，微分就是df(x)，微分和导数的关系为df(x)=f'(x)dx
求导又名微商，计算公式：dy/dx，而微分就是dy，所以进行微分运算就是让你进行求导运算然后在结果后面加上一个无穷小量dx而已。当然这仅限于一元微积分，多元微积分另当别论。
延伸：圆的面积公式 求导 就是圆的周长公式
两个函数相加、相乘、相除 的求导方法参考
泰勒公式
说泰勒公式之前，先说说工程上，现在有个角度36度，sin36的结果是多少，e^2好算，若e^2.1你怎么计算？因为这个难点引申出泰勒公式
科学家想，对于这样的计算，我可否拆分成多项式的相加呢？我在坐标里画出来，即我要有一个多项式能够趋近我要求的函数。原来的函数F(x) 在某个值有一个结果F(a),那么我已知F(a)，以它为起始点，为了后面我的函数曲线能够和F(x)一起变化，从而像它，我保证我的单次或多次导数要和它的一致，即变化率也一致了。
麦克劳林级数
欧拉公式
欧拉公式可以从 泰勒公式的特殊形式 麦克劳林公式推算而来。
欧拉公式
欧拉恒等式
证明
傅里叶变换 与 拉普拉斯变换
傅里叶变换
傅里叶函数的本质就是把一个图像拆解成 一堆正弦（余弦）波的叠加。通过欧拉公式等可以证明出傅里叶变换。
总结一下，傅立叶变换就是多个正余弦波叠加可以用来近似任何一个原始的周期函数，它实质是是频域函数和时域函数的转换。而其中时域就是永远随着时间的变化而变化的，而频域就是装着装着正余弦波的空间，代表着每一条正余弦波的幅值，而表示正余弦波除了幅值是不够的，就还有相位谱。
拉普拉斯和傅里叶的本质区别，一个是用等幅震荡的正弦波，而拉普拉斯就是把这个波越震荡越大，跟得上原函数的变化。
神奇的自然常数
先从美国数学家Merrial开始说起，他根据苏格拉底 最大的麦穗 问题，引申为一个数学问题：假设一个人一生遇到100个妹子，这其中有你喜欢的，也有你不喜欢的，这个很类似麦穗问题，那么请问，你选择第几个妹子，才能让你的幸福最大化？
答案是 100/e，也就是37%，在遇到37个人后面，你看到合适的就赶紧追了。
在人们提出e之前，在数学上遇到一个问题，即银行的复利计算问题，最后无意中得出 e=2.71828···，欧拉大神在这里起到很大的作用exp(x) = e^x,exp(1)=e
用泰勒展开式去表示e
以上是e得到的过程，那它表示的意义是什么？e表示某种增长倍数的极限。比如1元钱存到银行，给你100%的复利，到年底，也只会有2.718块钱，银行的复利是利滚利，自然物种的繁衍也是如此。
数的来源：虚数和复数的由来
有理数：常见的整数，分数，正数，负数
无理数：典型的 根号2，e, π 等等
实数 R = 有理数 + 无理数
人们创造虚数，就是为了让数学的逻辑更加完美
好，我们从一元二次方程说起：
如上，当△<0时，方程无解，不过这是初中数学的理解，所以引入虚数 i²=-1,±√(-1)=±i
复数 = 实数 + 虚数 = a + bi ； 以上 坐标图的意义是什么，我2i有什么实际意义吗？我可以把它理解为 实数 2 旋转 90度变成了 2i。若我 2i*i则有旋转90度，变成了 -2。再进一步推广，我旋转的任意角度，复数z=a+bi化为三角形式 z=r（cosθ+isinθ），进而由此推导出著名的 欧拉公式。
卷积
卷积
卷积的数学意义：先把g(τ)函数沿着x轴对折，变成g(-τ)，再按照x单位平移（左加右减，比如-x，就是函数图像右移x），再乘以f(τ)，最后做一次积分，这就是卷积的数学意义 (这里的横坐标是τ，x只是平移的变量)。
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