An Introduction to Measure Theor

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2020-09-01 21:56 被阅读0次

An Introduction to Measure Theor
2022-10-21-matlab一contour,clabel
My reading and understanding abo
常用英语单词分类速记（111）
Android View的绘制流程
改变心理学的40项研究 ·研究14 你在哪方面更聪明
第4章智力、认知和记忆·研究14 你在哪方面更聪明
Cloud Computing Networking Theor
On variance reduction in stochas
View的绘制原理

Luigi Ambrosio, Giuseppe Da Prato, Andrea Mennucci, An Introduction to Measure Theory and Probability.

Chapter 1 Measure spaces

Index:

ring/algebras P2
$\sigma$ -algebras P3
Borel $\sigma$ -algebras P3
$\sigma$ -additive P4
$(X,\mathscr{E},\mu)$ P7
finite, $\sigma$ -finite P7
$\mathscr{E}_{\mu}$ , $\mu-$ completion P8
$\pi-$ systems P9
Dynkin-systems P10
Outer measure P11
$\mathscr{S}:=\{(a,b]:a<b \in \mathbb{R}\}$ P12
Lebesgue measure $\lambda$ P12

P9页的Caratheodory定理是在环 $\mathscr{E}$ 的基础上建立的(实际上半环足以), 通过半环生成 $\sigma$ 域(通过 $\sigma(\mathscr{K})=\mathscr{D}(\mathscr{K})$ ). 通过 $\mathscr{E}$ 构建可测集域(外测度, 扩张), 由于 $\sigma(\mathscr{E})$ 也是可测集, 所以满足所需的可加性. 当定义在 $\mathscr{E}$ 的测度 $\mu$ 是 $\sigma$ 有限的时候(或者存在一个分割), 这个扩张是唯一的.

Chapter 2 Integration

Index:

Inverse image $\varphi^{-1}(I)$ P23
$(\mathscr{E}, \mathscr{F})$ -measureable P23
canonical representation of $\varphi$ P25
$\varphi(x)=\sum_{k-1}^n a_k 1_{A_k}, A_k = \varphi^{-1}(\{a_k\}).$
repartition function P28
archimedean integral P30
$\mu$ -integrable P32
$\mu$ -uniformly integrable P37

什么是可测函数, 以及什么是 $\mathscr{E}$ -可测函数是很重要的 (P24).
什么是 $\mu$ -integrable也是很重要的(在 $\mathscr{E}$ -可测函数定义的).
不同于我看到的一般的积分的定义, 这一节是从 repartition function 和 archimedean integral入手的, 特别是
$\int_X \varphi d\mu := \int_{0}^{\infty} \mu(\{\varphi > t\}) \mathrm{d}t,$
的定义式非常之有趣.

Chapter 3 Spaces of integrable functions

Index:

$L^p$ , $\mathcal{L}^p$ P44
equivalence class $\tilde{\varphi}$
Legendre transform P45
$\mu$ -essentially bounded P45
Jensen inequality P45
$C_b$ P54

首先需要注意的是, $L^p$ 空间是定义在 $\mu$ -integrable上的, 所以其针对值域为 $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ .

Chapter 4 Hilbert spaces

Index:

Orthonormal system P63
Complete orthonormal system P64
Separable P64
pre-Hilbert space P57
Hilbert space (complete) P58

投影定理, 子空间或者凸闭集(条件和结论需要调整).

Chapter 5 Fourier series

Index:

"Heaviside" function P71
totally convergent P75

Chapter 6 Operations on measures

Index:

Measureable rectangle P79
sections, $E_x,E^y$ P79
dimensional constant $w_n=\mathcal{L}^n(B(0,1))$ p83
$\delta$ -box P84
cylindrical set P86
concentrated set P92
singular measures P92
total variation P97
stieltjes integral P103
weak convergence P103
Tightness of measures P104
Fourier transform P108

这一章很重要!

Part1: Fubini-Tonelli

Part2: Lebesgue分解定理P92

Part3: Signed measures

Part4: $F(x):= \mu((-\infty,x])$ , P102, 弱收敛 $\lim_{h\rightarrow \infty}\mu_h(-\infty, x]=\mu((-\infty, x])$ (除去可数多个点)

Part5: Fourier transform, 以及测度的Fourier transform (后面概率的表示函数有用), Levy定理P112.

Chapter 7 The fundamental theorem of the integral calculus

Index:

density points, rarefaction points P121
Heaviside function P121
Cantor-Vitali function P121
total variation P116

$f(x)=f(a)+\int_a^x g(t)\mathrm{d}t,$
$\lim_{r\downarrow0} \frac{1}{\omega_n r^n} \int_{B_r(x)} |f(y)-f(x)|\mathrm{d}y=0.$

Chapter 8 Measurable transformations

Index:

differential P123
Jacobian determinant P125
diffeomorphism P125
critical set $C_F$ P125

$F_\# \mu(I) := \mu(F^{-1}(I))$

有一个问题就是，我看其理论都是限制在非负函数上的, 但是个人感觉直接推广到可测函数上.
需要用到逆函数定理, 很有意思.

$\int_{F(U)} \varphi(y) \mathrm{d}y = \int_{U} \varphi(F(x)) |JF|(x)\mathrm{d}x.$

Chapter 9 General concepts of Probability

Index:

elementary event P131
laws P131
Random variable P133
binomial law P138
Characteristic function P139

注意:
$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(X):= \int_{\Omega} X(\omega) \mathrm{d} \mathbb{P}(\omega),$
是限制在 $\mathbb{P}$ -integrable之上的.

Chapter 10 Conditional probability and independece

Index:

Independece of two families P147
$\sigma$ -algebra generated by a random variable P147
Independence of two random variables P147
Independence of familes $\mathscr{A}_i$ P149
$\sigma(X):= \{\{X \in A\}:A \in \mathscr{E}\}$ P149
$\sigma(\{X\}_{i \in I})$ P152
independent and identically distributed P155

由条件概率衍生到独立性, 随机变量的独立性有几个等价条件P147, P150.
需要区分联合分布的概率和 $\mu\times v$ 的区别 (当独立时才等价).

Chapter 11 Convergence of random variables

测度	概率
一致收敛	一致收敛
几乎一致收敛	几乎一致收敛
几乎处处收敛	几乎处处收敛
依测度收敛	依概率收敛
$L^p$ 收敛	$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}(\cdot)^p=0$
弱收敛	依分布收敛

(几乎)一致收敛可以得到几乎处处和依测度收敛.
几乎处处在测度有限的情况下可以推几乎一致收敛, 从而得到依测度收敛.
依测度收敛必存在一个几乎处出收敛的子列.
$L^p$ 收敛一定能够有依测度收敛.

特别地, 依概率收敛有依分布收敛, 只有当依分布收敛到常数 $c$ 的时候, 才能推依概率收敛到 $c$ (对应的有限测度).

Chapter 12 Sequences of independent variables

Index:

terminal $\sigma$ -algerba $\cap_{n} \mathscr{B}_n$ P172
empirical distribution function P180

Kolmogorov's dichotomy P173 很有趣.

大数定律再到中心极限定理.

Chapter 13 Stationary sequences and elements of ergodic theory

Index:

stationary sequences P186
measure-preserving transformation P188
T-invariant P189
Ergodic maps P189
conjugate maps P190

平稳序列的定义需要注意, 另外一些理论有趣却渐渐脱离了掌控, 有点摸不着头脑.

An Introduction to Measure Theor
Luigi Ambrosio, Giuseppe Da Prato, Andrea Mennucci, An In...
2022-10-21-matlab一contour,clabel
Beck, Amir. Introduction to nonlinear optimization: Theor...
My reading and understanding abo
Almost 10 years ago, I read a book named
常用英语单词分类速记（111）
Measure 测量 Measure 测量（动） Measure 计量单位/测量标准 Measurement 测量...
Android View的绘制流程
一、measure过程 ViewGroup measure过程 View的measure()方法是final的，无...
改变心理学的40项研究 ·研究14 你在哪方面更聪明
研究14 你在哪方面更聪明 Gardner, H.(1983).Frames of mind: The theor...
第4章智力、认知和记忆·研究14 你在哪方面更聪明
研究14 你在哪方面更聪明 Gardner, H.(1983).Frames of mind: The theor...
Cloud Computing Networking Theor
下载地址：Cloud Computing Networking Theory, Practice, and Dev...
On variance reduction in stochas
1. Abstract 基于variancereduction(VR)的SGD算法，比SGD更好，不论是theor...
View的绘制原理
一、measure过程 1、View的measure过程 View的measure方法是一个final方法，不可重...