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寻找素数算法

寻找素数算法

作者: 无聊的CairBin | 来源:发表于2021-10-30 16:37 被阅读0次

    找素数

    暴力求解

    • 时间复杂度: O(n sqrt(n))

    原理

    暴力求解是对[m,n]的每一个整数都判断是否为素数,由数学可知,一个数i的因数关于sqrt(i)对称分布,故我们只需判断[2,sqrt(i)]的整数中有没有i的因数即可

    代码

    vector<int> fuckingFindPrime(int m,int n)
    {
      vector<int> prime;
        if(m<=n)
        {
            
            for(int i=m; i<=n; i++)
            {
                bool flag = true;
                for(int j=2; j<=sqrt(i); j++)   //需要调用math.h头文件
                {
                    if(!(i%j)){
                        flag = false;
                        break;
                    }
                }
                if(!flag) continue;
                else prime.push_back(i);
            }
                    
        }   
      return prime;
    }
    

    埃氏筛法

    • 时间复杂度: O(n log(n))

    原理

    首先,2是最小质数,所以先把2在n以内的所有倍数筛选掉。然后,3也是质数,故把3的所有倍数筛选掉。4不是质数,且4为2的倍数,已经被筛选掉,跳过。5是质数。。。。然后依次类推,最后剩下的就都是质数了。

    代码

    vector<int> EratosthenesSieve(int n)
    {
        vector<int> num;
        vector<int> prime;
        for(int i=0; i<=n; i++)
            num.push_back(i);//把[0,n]的整数初始化
        num[1] = 0; //1公认不是素数,把1去掉
        
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(!num[i])
                continue;//被置为0的数不是素数,所以跳过本轮循环去判断下一个位置
            prime.push_back(i); //是素数,保存到prime中
          //以下为埃氏筛的关键,参考上文的“原理”部分
            for(int j=i; i*j<=n&&j<n; j++)
                num[i*j] = 0;
        }
        
        return prime;
    }
    

    提示

    如果要寻找区间[m,n]的素数,只需用埃氏筛打表n以内的素数向量prime(或数组),然后在prime中找到不小于m的最小素数,一直输出到不大于n为止

    比如,寻找[50,90]的素数,代码可以如下

    int main()
    {
        vector<int> prime = EratosthenesSieve(90);
        int i=0;
        while(prime[i]<50) i++;
        for(int j=i; prime[j]<=90; j++)
            cout << prime[j] << " ";
        cout << endl;
      
      return 0;
    }
    

    当然,这只是个简单的例子,你也可以用更高效的查找算法于prime中寻找,因为本文主题为寻找素数,所以查找方面不过多叙述

    欧拉筛(线性筛)

    • 时间复杂度: O(n)

    原理

    其将合数分为 合数 = 最小质因数合数 的形式,通过最小质因数判断是否被标记。故相对于埃氏筛,欧拉筛不会反复标记一个合数,效率更高。*

    代码

    vector<int> EulerSieve(int n)
    {
        int pNum = 0;   //记录素数的个数
        vector<int> prime;
        vector<bool> isPrime;   //用于标记
        
        //对标记向量初始化
        for(int i=0; i<n; i++)
            isPrime.push_back(false);
        
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(!isPrime[i]) //没有被筛选过,则为素数
            {
                pNum++;
                prime.push_back(i);
            }
            for(int j=0; j<pNum && i*prime[j]<=n; j++)
            {
                isPrime[i*prime[j]] = true; //将已经记录的素数倍数标记
                //下方为欧拉筛的核心
                if(!(i%prime[j])) break;
            }
        }
        return prime;
    }
    

    核心

    欧拉筛妙就妙在它的核心处

    i是prime[j]的整数倍k

    i · prime[j+1] = k · prime[j] · prime[j+1] = k · prime[j+1] · prime[j]

    i · prime[j+1]为 prime[j] 的整数倍,不需要被标记,prime[j+2]...prime[j+...] 同理

    该推导告诉我们不需要去标记后面的数,直接跳出循环即可

    提示

    欧拉筛法同埃氏筛一样为打表方法,想要获取[m,n]的素数要去查表

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