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微积分简介

微积分简介

作者: 何哀何欢 | 来源:发表于2020-04-16 15:27 被阅读0次

微积分有两个主要概念:

1. Derivative 导数:

曲线上两点A、B,过两点有一条线,B不断移向A,最终与A重叠,这时,这条线就是曲线在A点的切线(tangent)。切线的斜率就是导数值\partial A
\partial A = \frac{\Delta y}{\Delta x}

导数的发明,其实就是为了解决一个问题,牛顿想要得到物体的瞬时速度。速度公式:v=\frac{s}{t}
坐标轴如下图,走过的时间tx轴,走过的距离sy轴。

如何求红线处的速度?
可问题是,瞬时,就意味着时刻的值为0,而不是一个时间段,这和我们对速度的认知是有偏差的,因为速度需要除一个时间,是有长度的时间段,没有时间段,怎么求速度?用2个点来计算时间差,那就不是瞬时值了,但是如果,那等式就除以0了…… 😨
导数就是静态公式里的动态算法,而得到的那个时间点的速度是“最佳估算值”
需要转换认知,需要意识到:在公式 中,
{\Delta x}并不是无限小,也\not= 0,它只是无限接近 \rightarrow 0

导数\frac{d(x^2)}{dx}2x。如何用图形化来解释\frac{d(x \times x)}{dx}
当图形化乘法的时候,最好的方法是用矩形来表示。H \times L=A,面积正好是长\times宽。
当边长为x的正方形,边长增长一个长度\rightarrow 0的长度时,面积的增长是多少?


答案就是。两条宽,长度为的长条,外加一个边长的方块。放大增长的局部:

这里比较诡异,要理解,需要一些想象力:长度为,宽的长条的面积。直觉告诉我们,宽是0,那面积就是0。然而不要忘了,这里的宽并不是一个“常量”,不是一个静态的数字概念,,而是一个动态的值,是一个动态的概念,是一个趋向于0的值。

2. integral 积分:

求坐标上,一个不规则的曲线,下面的面积:可以用矩形填充。当矩形的数量逐渐增多,宽度逐渐缩小,最后完美填充图形,所获取的面积,就是图形面积。

曲线下的面积
这个面积值就是积分值

x处的一个细微增长dx会造成这个面积也同样有一个细微增长:dAdA = dx\times f(x)

这个应用非常广泛。任何连续的数值乘积,都可以看作是算面积,比如,求汽车路程:

一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这1 min内所行驶的路程

(变速直线运动)

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