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小朋友学编程—求最大公约数

小朋友学编程—求最大公约数

作者: TarsL | 来源:发表于2020-12-07 20:01 被阅读0次

    一、最大公约数(Greatest Common Divisor)

    几个自然数,公有的因数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:18、12的公约数有1、2、3、6,其中最大的一个是6,6是18与12的最大公约数,一般记为(18、12)=6。

    二、编程求最大公约数

    用c++编程实现,输入任意两个自然数a和b,求他们的最大公约数。
    这个题目主要是考察小朋友们对循环的使用。

    三、算法求解

    1.穷举法

    解析

    穷举法是大部分人最先想到的方法。让一个数循环的去被a和b除,如果余数都为0那么就是他们的公约数,然后最大的那个就是最大公约数。

    代码

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    //穷举法
    int gcd1(int a, int b)
    {
        int x=(a<b?a:b);
        int z = 0 ,count=0;
        for(;x>0;x--)
        {
            if( a%x == 0 && b%x == 0 ){
                z=x;
                break;
            }
            count++;
        }
        cout<<"循环次数(穷举法):"<<count<<endl;
        return z;
    }
    
    int main(){
        int a,b,result;
        cin>>a>>b;
        result = gcd1(a,b);
        cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公约数:"<<result<<endl;
        return 0;
    }
    

    运行结果:

    18 12
    循环次数(穷举法):6
    18和12的最大公约数:6
    

    分析

    穷举法虽然简单,但是有一个很大的缺点,就是效率低。比如咱们输入1200和1800,那么程序是从1200开始自减,一直减到600,才得出了结果。这个过程for共执行了600次。含有很多小朋友会从1开始写自增,那么循环的次数就更多了。
    所以求最大公约数,通常不用穷举法。
    穷举法的效率极其的低下,和后面其他几个不在一个数量级上。

    2.辗转相除法

    解析

    辗转相除法,又称欧几里得算法。用于计算两个正整数a,b的最大公约数和最小公倍数,其依赖于gcd(a,b) = a (b=0)和gcd(b,a mod b) (b!=0)。算法的具体描述如下图:


    辗转相除法图示

    代码

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    //迭代相除法
    int gcd2(int a, int b)
    {
        int z = b;
        int count = 0;
        while (a % b != 0) {
            z = a % b;
            a = b;
            b = z;
            count++;
        }
        cout<<"循环次数(迭代相除):"<<count<<endl;
        return z;
    }
    
    int main(){
        int a,b,result;
        cin>>a>>b;
        result = gcd2(a,b);
        cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公约数:"<<result<<endl;
        return 0;
    }
    

    运行结果:

    18 12
    循环次数(迭代相除):1
    18和12的最大公约数:6
    

    分析

    可以看到迭代相除只用了一次循环就得到了结果,大大提高了效率。
    此方法当数据较小的时候性能最好,代码可读性极好,但是它需要用到取余运算.

    扩展

    小朋友们只学到了循环,如果学到函数以及递归则可以把函数写成如下这样,大大简化代码提高可读性。

    int gcd(int a, int b)
    {
        return 0 == b ? a : gcd(b, a % b);
    }
    

    3.更相减损法

    解析

    更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
    九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,原文是:
    可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
    白话文译文:
    (如果需要对分数进行约分,那么)可以折半的话,就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,用这个相等的数字来约分。
    算法的图示如下:

    更相减损法

    代码

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    //更相减损法
    int gcd3(int a,int b)
    {
        int count = 0;
        while(a != b)
        {
            if(a>b)
            {
                a = a - b;
            }
            else
            {
                b = b - a;
            }
            count++;
        }
        cout<<"循环次数(更相减损法):"<<count<<endl;
        return a;
    }
    
    int main(){
        int a,b,result;
        cin>>a>>b;
        result = gcd3(a,b);
        cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公约数:"<<result<<endl;
        return 0;
    }
    

    运行结果:

    18 12
    循环次数(更相减损法):2
    18和12的最大公约数:6
    

    分析

    可以看到更相减损法用了两次循环得到结果,效率也挺高,还有它不需要取余。
    这种方法在计算大数的情况下依旧可以保持较快的速度,代码的可读性也非常高,但是因为要不断互减,在两个数较为接近的时候需要的系统资源较大。

    4.短除法

    解析

    短除法应该是小朋友最熟悉的数学方法,和计算数学题时常采用的方法一致。


    短除法

    左边部分的因子相乘,即为最大公约数。
    所以,18与12的最大公约数为2 * 3 = 6

    // 短除法
    int gcd4(int a, int b)
    {
        int min = a < b ? a : b;
        int s = 1;
        int i;
        for(i = 2; i <= min ; i++)
        {
            // 四个条件只要有一个不满足,while循环结束
            while(a > 0 && b > 0 && 0 == a % i && 0 == b % i)
            {
                a /= i;
                b /= i;
                s *= i;
            }
        }
        return s;
    }
    
    int main(){
        int a,b,result;
        cin>>a>>b;
        result = gcd4(a,b);
        cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公约数:"<<result<<endl;
        return 0;
    }
    

    分析

    短除法的效率也还算可以,它更多是和我们常用的数学方法一致,算法上比较容易理解,但是代码的可读性就比较差一些。

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