自编的一道数学题

自编的一道数学题

作者: Flowerance花之舞 | 来源:发表于2019-02-05 00:02 被阅读0次

以椭圆 $\frac{x^2 }{a^2 } +\frac{y^2 }{b^2 }=1(a>b>0)$ 上一点 $M$ 为圆心的圆与 $x$ 轴恰好相切于椭圆的一个焦点 $F$ ，且与 $y$ 轴交于 $P、Q$ 两点，若 $△MPQ$ 为正三角形，则该椭圆的离心率为（※）.

解：

由题意得圆 $M$ 的方程为 $(x-c)^2+(y-\frac{b^2}{a} )^2=\frac{b^4}{a^2}$

令 $x=0$ ，得圆与 $y$ 轴相交所得的弦长为 $2\sqrt{\frac{b^4}{a^2}-c^2 }$ ，

满足 $2\sqrt{\frac{b^4}{a^2}-c^2 } =\frac{2c}{\sqrt{3} }$ ，平方、移项得： $\frac{3b^4}{a^2}=4c^2$

开方、移项，以 $b^2=a^2-c^2$ 代换得： $\sqrt{3} (a^2-c^2)=2ac$

等式两边除 $a^2$ 并以 $e=\frac{c}{a}$ 代换得： $\sqrt{3} (1-e^2)=2e$

符合题意的解为 $e=\frac{\sqrt{3} }{3}$ .

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