傅里叶变换离散傅里叶变换

作者: 雪地团子 | 来源:发表于2018-11-11 13:07 被阅读0次

傅里叶级数

$f(t)$ 是周期为T的周期函数，在周期 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 内满足狄利克雷条件
则 $f(t)$ 可以表示为：
$f(t)=C+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot sin(\frac{2 \pi n}{T}t)+b_n \cdot cos(\frac{2 \pi n}{T}t))$

函数向量的点积是这么定义的：
$\vec{f(x)}\cdot\vec{g(x)}=\int^T_0 f(x)g(x)dx$
正交定义为：
$\vec{f(x)}\cdot\vec{g(x)}=0$
则向量函数 $f(t)$ 的正交基为 $[1,sin(\frac{2 \pi n}{T}t), cos(\frac{2 \pi n}{T}t)]$ ，而 $[C,a_n,b_n]$ 则是向量函数 $f(t)$ 在正交基中的坐标。

图片.png

\vec{u}

、

\vec{v}

是正交基，则

\vec{w}

在

\vec{u}

的坐标可以表示为：

\alpha=\frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}

同样的，

a_n=\frac{\vec{f(t)}\cdot\vec{cos(\frac{2 \pi n}{T}t)}}{\vec{cos(\frac{2 \pi n}{T}t)}\cdot\vec{cos(\frac{2 \pi n}{T}t)}}

a_n=\frac{\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)cos(\frac{2 \pi n}{T}t)dt}{\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} cos^2(\frac{2 \pi n}{T}t)dt}

a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)cos(\frac{2 \pi n}{T}t)dt

b_n=\frac{\vec{f(t)}\cdot\vec{sin(\frac{2 \pi n}{T}t)}}{\vec{sin(\frac{2 \pi n}{T}t)}\cdot\vec{sin(\frac{2 \pi n}{T}t)}}

b_n=\frac{\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)sin(\frac{2 \pi n}{T}t)dt}{\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} sin^2(\frac{2 \pi n}{T}t)dt}

b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)sin(\frac{2 \pi n}{T}t)dt

C=\frac{a_0}{2}

则

f(t)

傅里叶级数展开可以表示为：

f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot sin(\frac{2 \pi n}{T}t)+b_n \cdot cos(\frac{2 \pi n}{T}t))

a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)cos(\frac{2 \pi n}{T}t)dt

b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} f(t)sin(\frac{2 \pi n}{T}t)dt

傅里叶级数的指数形式

根据欧拉公式
$e^{i\theta}=cos(\theta)+i \cdot sin(\theta)$
可得：
$cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}$
$sin \theta = \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}$
$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \frac{e^{i (\frac{2 \pi n}{T})t}+e^{-i (\frac{2 \pi n}{T})t}}{2}+b_n \cdot \frac{e^{i (\frac{2 \pi n}{T})t}-e^{-i (\frac{2 \pi n}{T})t}}{2i})$
$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_n-i b_n}{2}e^{i (\frac{2 \pi n}{T})t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i (\frac{2 \pi n}{T})t})$
令 $c_0=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$
$c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i (\frac{2 \pi n}{T})t}dt$
$c_{-n}=\frac{a_n+i b_n}{2}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{i (\frac{2 \pi n}{T})t}dt$
综合 $c_0$ 、 $c_n$ 、 $c_{-n}$ ，指数形式的傅里叶级数展开可以表示为：
$f(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(\tau)e^{-i (\frac{2 \pi n}{T})\tau}d\tau]e^{i (\frac{2 \pi n}{T})t}$

傅里叶积分定理

任何一个非周期函数可以看成 $T\rightarrow +\infty$ 的周期函数，所以对于任意的函数有：
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int^{\infty}_{-\infty}f(\tau)e^{-i \omega\tau}d\tau]e^{i \omega t}d\omega$
其中 $\omega = \frac{2 \pi }{T}$

傅里叶变换

$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt$
$G(f)=\int^{\infty}_{-\infty}g(t)e^{-i 2\pi f t}dt$

逆傅里叶变换

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i \omega t}d\omega$

离散傅里叶变换 DFT

$G(f)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}g(k\Delta t)e^{-i 2\pi f k\Delta t}$
对于有限长度为N的信号：
$G(p)=\sum^{N-1}_{k=0}g(k)e^{-i 2\pi \frac{p}{N} k}$
采样频率 $f_s=\frac{N}{T}$ ，频率 $G(p)$ 的取值也是离散的，取0、 $\frac{1}{N}f_s$ 、 $\frac{2}{N}f_s$ 、 $\cdots$ 、 $\frac{p}{N}f_s$ 、 $\cdots$ 、 $\frac{1}{2}f_s$
$G(p)=\sum^{N-1}_{k=0}g(k)e^{-i 2\pi \frac{p}{N} k}=\sum^{N-1}_{k=0}g(k)W_N^{pk}$
$W_N=e^{-i 2\pi \frac{1}{N}}$
首先,离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔）；
然后,对于单频率成分的信号来说,经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T（做谱时间长度）倍,同样,对于相隔较远的多频率成分信号来说,相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍.
综合考虑这两种原因的话,也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N（做谱点数）倍,因此,必须将此结果除以N.
单边谱乘以2就是实际的幅值

采样定律

处理的是离散的时域信号，相当于时域信号与采样函数（周期单位的脉冲函数，多个偏移量不同的脉冲信号加和，单位脉冲信号经傅里叶变换后恒为1）相乘，根据傅里叶变换的乘法定律，变换后的频域函数会以采样频率 $f_s$ 重复.
根据奈奎斯特采样定律，如果信号的频率范围是 $-f_{max}$ ~ $f_{max}$ ，采样频率要高于 $2f_{max}$ ，才不会发生混叠。

傅里叶变换离散傅里叶变换

傅里叶级数

傅里叶级数的指数形式

傅里叶积分定理

傅里叶变换

逆傅里叶变换

离散傅里叶变换 DFT

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