信息熵

信息论在信号处理、数据压缩、自然语言等许多领域，起着关键作用。虽然，它的数学形式很复杂，但是核心思想非常简单，只需要中学数学就能理解。

一、词汇的编码

小张最近去了美国。我们保持着邮件联系。小张写信的时候，只使用4个词汇：狗，猫，鱼，鸟。信的所有内容就是这4个词的组合。第一封信写着"狗猫鱼鸟"，第二封信写"鱼猫鸟狗"。信件需要二进制编码，在互联网传递。两个二进制位就可以表示四个词汇。

狗 00           猫 01             鱼 10        鸟 11

所以，第一封信"狗猫鱼鸟"的编码是00011011，第二封信"鱼猫鸟狗"的编码是10011100。

二、词汇的分布

最近，小张开始养狗，信里提到狗的次数，多于其他词汇。假定概率分布如下。

狗：50%       猫：25%           鱼：12.5%            鸟：12.5%

小张的最新一封信是这样的。狗狗狗狗猫猫鱼鸟  上面这封信，用前一节的方法进行编码。

0000000001011011

一共需要16个二进制。互联网的流量费很贵，有没有可能找到一种更短编码方式？

很容易想到，"狗"的出现次数最多，给它分配更短的编码，就能减少总的长度。请看下面的编码方式。

狗 0        猫 10           鱼 110           鸟 111

使用新的编码方式，小张的信"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"编码如下。

00001010110111

这时只需要14个二进制位，相当于把原来的编码压缩了12.5%。

根据新的编码，每个词只需要1.75个二进制位（14 / 8）。可以证明，这是最短的编码方式，不可能找到更短的编码，详见后文。

三、编码方式的唯一性

前一节的编码方式，狗的编码是0，这里的问题是，可以把这个编码改成1吗，即下面的编码可行吗？

狗 1      猫 10      鱼 110       鸟 111

回答是否定的。如果狗的编码是1，会造成无法解码，即解码结果不唯一。110有可能是"狗猫"，也可能是"鱼"。只有"狗"为0，才不会造成歧义。

下面是数学证明。一个二进制位有两种可能0和1，如果某个事件有多于两种的结果（比如本例是四种可能），就只能让0或1其中一个拥有特殊含义，另一个必须空出来，保证能够唯一解码。比如，0表示狗，1就必须空出来，不能有特殊含义。

同理，两个二进制位可以表示四种可能：00、01、10和11。上例中，0开头的编码不能用了，只剩下10和11可用，用10表示猫，为了表示"鱼"和"鸟"，必须将11空出来，使用三个二进制位表示。

这就是，上一节的编码方式是如何产生的。

四、编码与概率的关系

根据前面的讨论，可以得到一个结论：概率越大，所需要的二进制位越少。

狗的概率是50%，表示每两个词汇里面，就有一个是狗，因此单独分配给它1个二进制位。

猫的概率是25%，分配给它两个二进制位。

鱼和鸟的概率是12.5%，分配给它们三个二进制位。

香农给出了一个数学公式。L表示所需要的二进制位，p(x)表示发生的概率，它们的关系如下。

通过上面的公式，可以计算出某种概率的结果所需要的二进制位。举例来说，"鱼"的概率是0.125，它的倒数为8， 以 2 为底的对数就是3，表示需要3个二进制位。

知道了每种概率对应的编码长度，就可以计算出一种概率分布的平均编码长度。

上面公式的H，就是该种概率分布的平均编码长度。理论上，这也是最优编码长度，不可能获得比它更短的编码了。

接着上面的例子，看看这个公式怎么用。小张养狗之前，"狗猫鱼鸟"是均匀分布，每个词平均需要2个二进制位。

H = 0.25 x 2 + 0.25  x 2 + 0.25  x 2 + 0.25 x 2  = 2

养狗之后，"狗猫鱼鸟"不是均匀分布，每个词平均需要1.75个二进制位。

H = 0.5 x 1 + 0.25 x 2 + 0.125 x 3 + 0.125 x 3 = 1.75

既然每个词是 1.75 个二进制位，"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"这8个词的句子，总共需要14个二进制位（8 x 1.75）。

五、信息与压缩

很显然，不均匀分布时，某个词出现的概率越高，编码长度就会越短。

从信息的角度看，如果信息内容存在大量冗余，重复内容越多，可以压缩的余地就越大。日常生活的经验也是如此，一篇文章翻来覆去都是讲同样的内容，摘要就会很短。反倒是，每句话意思都不一样的文章，很难提炼出摘要。

图片也是如此，单调的图片有好的压缩效果，细节丰富的图片很难压缩。

由于信息量的多少与概率分布相关，所以在信息论里面，信息被定义成不确定性的相关概念：概率分布越分散，不确定性越高，信息量越大；反之，信息量越小。

六、信息熵

前面公式里的H（平均编码长度），其实就是信息量的度量。H越大，表示需要的二进制位越多，即可能发生的结果越多，不确定性越高。

比如，H为1，表示只需要一个二进制位，就能表示所有可能性，那就只可能有两种结果。如果H为6，六个二进制位表示有64种可能性，不确定性大大提高。

信息论借鉴了物理学，将H称为"信息熵"（information entropy）。在物理学里，熵表示无序，越无序的状态，熵越高。

七、信息量的实例

最后，来看一个例子。如果一个人的词汇量为10万，意味着每个词有10万种可能，均匀分布时，每个词需要 16.61 个二进制位。

log₂(100, 000) = 16.61

所以，一篇1000个词的文章，需要 1.6 万个二进制位（约为 2KB）。

16.61 x 1000 = 16,610

相比之下，一张 480 x 640、16级灰度的图片，需要123万个二进制位（约为 150KB）。

480 x 640 x log₂(16) =  1,228,800

所以，一幅图片所能传递的信息远远超过文字，这就是"一图胜千言"吧。

上面的例子是均匀分布的情况，现实生活中，一般都是不均匀分布，因此文章或图片的实际文件大小都是可以大大压缩的。

八、参考链接

Visual Information Theory, by Christopher Olah

Information Theory (PDF), Roni Rosenfeld