【代数】不等式基础

题1 ，解不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)

解 (1)

原不等式

或或

(2) 解法1 ,则，原不等式等价于：

解法2 原不等式等价于

(3)原不等式等价于

或

或

(4)原不等式等价于



或

---

题2 ，求以下函数的取值范围：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解 (1) 解法1 令，则，那么：

所以

当时，；
当时，
因为
或
所以

解法2 原式变为：
(2.1)
因为函数的定义域为，所以原问题变为求的取值范围，使得关于的方程(2.1)有实根。
当时，为方程(2.1)的实根；
当时，方程(2.1)有实根的充分不要条件是：

解得：

(2) 令，则，那么：

当，即时，；
当，即时，变形如下：


综上所述，

评注 我们很容易想到这种方法，原式变形为：
(2.2)
原问题变为求y的范围，使方程(1.2)有实数解。
当时，(1.2)显然有实数解；
当时，，即：

解得：

我们发现，用平方把根式不等式转变为整式不等式，会多出一大段增集。为什么会这样？不等式在平方运算时，解集扩大一整段，如：

增集的扩大是一段数集，难以验算。而把分式不等式变为整式不等式，虽然也有增集，但增集是有限的，容易排除。

(3) 令，则，所以：

因为，所以：

(4) 函数的定义域为
原式变为： (2.3)
当时，关于的方程(2.3)无解；
所以
(2.4)
于是得：

由定义域知：
(2.5)
或
(2.6)

(2.7)

而
(2.8)

另外，由知：

即：

这等价于：

或 (2.9)

由(2.4)(2.7)(2.9)得：
或

(5)
(2.10)
问题变为求的取值范围，使方程有根且根不等于1与-3。
当时，方程(2.10)显然有根；
当时，(2.11)
不等式(2.11)对于任意的成立。
综上，的取值范围是实数。

(6)
令
则


所以，
即，
当时，

另一方面，函数的定义域为，根据单调性，区间端点取最小值，且：


所以，
所以，的取值范围是

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题3 已知，求的最大值。

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题4 已知，求的最小值。

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题5 ，求的最大值。

---

题6 ，求下列函数的最大值：
(1)
(2)

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