题目描述

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
示例 1：
输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。
示例 2：
输入: "cbbd"
输出: "bb"

解题思路

解析

我们目标是得到一个字符串的最长回文子串，假设字符串S="axbacabyd"（x，y表示未知字符），则可以定义出最优子结构，假设字符串子串 bacab是回文子串，则当前字符串的最长回文子串有如下两种最优子结构：

1. 若x == y，则最长回文子串为xbacaby
2. 若x != y，则最长回文子串为bacab

通过题目可知边界条件为

1. 字符串为单个字符时，此时最长回文子串为自身
2. 字符串为两个字符时，若两个字符相等，则最长回文子串为自身，否则不存在最长回文子串

数学建模

定义 F(i , j) 为如下，

1. 若 F(i , j) = true , Si…Sj是回文子串
2. 若 F(i , j) = false, 其他情况

基于 F(i , j) 定义，可通过解析得到数学模型，即状态转移方程：
  F(i , j) = true（F(i + 1, j -1) == true && S[i] == S[j]）
  F(i , j) = false （F(i + 1, j -1) == false || S[i] != S[j]）
  F(i , i) = true
  F(i , i + 1) = true （S[i] == S[i + 1]）

动态规划实现

接下来使用一个简单的例子，利用上述的数据建模，把求解最长回文子串的过程通过表格形式展示出来。
假设一个字符串str = "abcacfa"，回文子串求解过程如下：

1. 当下标为i=j=0时，F(0 ,0) = true ，遂标为T；当下标为i=0，j=1时，此时 F(0 , 1) = false（S[0] != S[1]） ，遂标为F； 当下标为i=j=1时， F(1 , 1) = true ，遂标为T；当下标为i=0，j=2时， F(0 , 2) = false （F(1 , 1 ) == true && str[0] != str[2]) ，遂标为F； 当下标为i=1，j=2时，此时 F(1 , 2) = false（S[1] != S[2]） ，遂标为F，当下标为i=j=2时， F(2 , 2) = true ，遂标为T

过程图1.png

2. 根据第一步的方法 ，可以补全整个表格如下，补全上半部分即可，i=2, j =4 与 i = 4, j =2表达的是同一个子串，可得到最长回文子串的cac。

过程图2.png

3. 通过完整表格可知，要判断一个i，j范围的子串是否是回文子串，只需判断 （F(i + 1) == true && str[i] == str[j]） 是否为true即可，如下面红色所示。我们在进行代码编写时，也只需要保存上一次的计算结果即可。

过程图3.png

4. 代码实现

public String getLongPalindromicSubstring(String str){
            // 字符串为空或只有一个字符直接返回
              if (str.length() == 0 || str.length() < 2)
                return str;
            int len = str.length();
            // TreeMap<Integer,String> PSMap = new TreeMap<Integer, String>(); 
            boolean [] preResult = new boolean[len];  // 存储上一次的计算结果
            int start = 0, end = 0, maxLen = 0;  // 记录最长的回文子串的起始和结束索引
            for (int j = 0; j < str.length(); j++){
                for (int i = 0; i <= j; i++){
                    // 对应数学模型 - F(i , i) = true
                    if (i == j) {
                        preResult[i] = true;
                        if (1 > maxLen){
                            start = i;
                            end = j;
                            maxLen = 1;
                        }
                        //PSMap.put(1, String.valueOf(str.charAt(i)));
                    }
                    // 对应数学模型 - F(i, i + 1) = true （S[i] == S[i+1]）
                    else if (j == i + 1 && str.charAt(i) == str.charAt(j)){
                        preResult[i] = true;
                        if (2 > maxLen){
                            start = i;
                            end = j;
                            maxLen = 2;
                        }
                        // PSMap.put(2,str.substring(i,j+1));
                    }
                    // 对应数学模型 - F(i, j) = true （F(i + 1, j -1) && S[i] == S[j]）
                    else if (preResult[i+1] && str.charAt(i) == str.charAt(j)){
                        preResult[i] = true;
                        if (j-i+1 > maxLen){
                            start = i;
                            end = j;
                            maxLen = j-i+1;
                        }
                        //PSMap.put(j-i+1,str.substring(i,j+1));
                    }
                    else{
                        preResult[i] = false;
                    }
                }
            }
            //String result = PSMap.lastEntry().getValue();
            String result = str.substring(start, end + 1);
            return result;
        }

注：

1. 时间复杂度：O(n^2)
   空间复杂度：O(n)
2. 注释的代码是用TreeMap存储已知的回文子串（treeMap能根据键的自然顺序进行排序），直接取最后一个key-value返回即可。但是需要花费额外的空间来存储，为了效率问题，采用了start，end来记录当前最长回文子串，虽然多了很多行代码，但是效率得到了一定的提高。
3. 挖个小坑 - 中心扩散算法求解，有时间来填 /(ㄒoㄒ)/~~