GEB-20210209

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在计算机科学界，大家都知道这是一本杰出的科学普及名著，它以精心设计的巧妙笔法深入浅出地介绍了数理逻辑、可计算理论，人工智能等学科领域中的许多艰深理论，然而当你翻阅它的时候，首先跳入眼帘的却是艾舍尔那些构思奇特的名画以及巴赫那些脍炙人口的曲谱，最后，你合上这本书的时候，竟会看到封面上印着“普利策文学奖”的字样。 （译者引语）

【赋格】
赋格是盛行于巴洛克时期的一种复调音乐体裁，又称“遁走曲”，意为追逐、遁走。其基本特点是运用模仿对位法，使一个简单的而富有特性的主题在乐曲的各声部轮流出现一次（呈示部）；然后进入以主题中部分动机发展而成的插段，此后主题及插段又在各个不同的新调上一再出现（展开部）；直至最后主题再度回到原调（再现部），并常以尾声结束。
【复调】
一种“多声部音乐”。作品中含有两条以上（含）独立旋律，通过技术性处理，和谐地结合在一起。
【巴洛克艺术】
巴洛克艺术的特点是打破了文艺复兴时期的严肃、含蓄和均衡，崇尚豪华和气派，注重强烈情感的表现，气氛热烈紧张，具有刺人耳目、动人心魄的艺术效果。在音乐上的表现，节奏特别强烈、活跃，短促而律动；旋律精致、跳跃且持续不断；采用多旋律、复音音乐的复调法；作曲家普遍强调作品的情感起伏。
【卡农】
卡农的基本特点是一个单一的主题于它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。卡农中最简单的是轮唱，像《保卫黄河》，第一个声部先唱出主题，相隔规定的某段时间之后，这一主题的“副本”在完全一样的调上进入，依次类推。

巴赫

在巴赫的《音乐的奉献》中有着一首极不寻常的卡农，只标着“Canon per Tonos”(经由种种调性的卡农)这个三个词。在这部卡农中，巴赫给了我们有关“怪圈”这一概念的第一个例子。所谓“怪圈”现象，就是当我们向上（或向下）穿过某种层次系统中的（这里，系统是音乐的调子）一些层次时，会意外地发现我们正好回到了我们开始的地方。

卡农

艾舍尔

艾舍尔的画作经常是建立在对称或模式等等这类数学原理上的，他是怎样用作品实现“怪圈”现象呢？在作品《瀑布》中，有六个分立的阶段，水可以永无休止的流动着。所以“怪圈”概念中隐含的是无穷的概念。循环不就是一种以有穷的方式表示无休止过程的方法吗？（题外：作品给产生的视觉错感，是我们在意识中的自动升维）。

瀑布

哥德尔

我们看到的巴赫和艾舍尔的怪圈例子中，存在着有穷与无穷之间的错觉，因而使人有一种强烈的悖论感。
数学系统中的“怪圈”现象，是由一个古老的悖论转化成的，这就是“说谎者悖论”，艾皮曼尼蒂斯是一个克里特岛人，他说过一句不朽的话：“所有克里特岛人都是说谎者”。这句话可以拆分出来两个陈述句：

1.我是说谎者
2.这句话本身就是谎话

注：【如果1为真，那么就能够推出2为假。如果1为假，则无法推出2为真】
艾皮曼尼蒂斯说的这个陈述句，粗暴的违反了通常设定把陈述句分为真与假的二分法，因为，如果我们假定它是真的，那么它立即会产生一个相反的结果，使我们认为它是假的。反过来，如果我们假定它是假的，同样会产生一个相反的结果，让我们又回到了它必须是真的这一个点上。
“艾皮曼尼蒂斯悖论”是一个一步的怪圈，与艾舍尔的《画廊》一样。

画廊
那么它们与数学有什么关系呢？
这正是哥德尔所发现的，他的想法是用数学推论探索数学推论的本身。这就是哥德尔不完全性定理。

【哥德尔不完全性定理】
数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。

【三段论】
三段论是由两个性质判断作前提，另一个性质判断作结论组成的性质判断间接推理。三段论中有且只有三个不同的概念作为变项，其中每个概念出现两次（在不同的判断中），如下例所示：

• 所有的鸟都是有羽毛的， ---(大前提)
• 燕子是鸟， ---(中前提)
• 所以，燕子是有羽毛的。 ---(结论）
  其中有羽毛的为大项（P)，燕子为小项（S），鸟为中项（M）

	第一格	第二格	第三格	第四格
大前提	M—P	P—M	M—P	P—M
小前提	S—M	S—M	M—S	M—S
结论	M—P	S—P	S—P	S—P

【罗素悖论】
罗素悖论是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。

【机器人学三大定理】

• 机器人在任何时候不能伤害人类，或者目睹人类被伤害。
• 机器人必须服从人类发出的指令，当该指令与第一定律冲突时例外。
• 机器人在不违法第一第二定律的前提下，尽可能的保护自己生存

无论是“艾皮曼尼蒂斯悖论”还是“罗素悖论”，又或者艾舍尔的《画廊》，他们都一个共同的“祸根”，就是“怪圈现象”，或者称之为自指。例如：

• 下面这个句子是假的
• 上面那个句子是真的

放在一起来看的话，我们会发现自相矛盾，但分来来看的话，这两句话并没有什么问题。这个怪圈现象不能归咎于任何一个句子，而应该归咎于它们互“指”对方的方式。

存在的疑问：
1.哥德尔定理是如果消除这些悖论的？
2.它是怎么产出计算机和人工智能的?
3.巴赫？艾舍尔？哥德尔？