老师们：
本篇文章是剖析甘志国老师《一种重要的三角变换——桃园结义》专题的解题思维，作为您们深度学习的一种参考。
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第一境界：掌握已有的解题技巧；
第二境界：剖析背后的思维方法；
第三境界：分享自己的研究成果。
一、复数观点下的三角变换
关于sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx这三个式子的变换及应用，看过甘老师视频的老师应该都掌握了。在剖析甘老师思维方法过程中，小编查阅了很多资料，和老师们一起分享：
美国数学家Tristan Needham在其书——《复分析：可视化方法》中提到：
所以我们从复数的观点看一下这种三角变换，说不定可以发现一些新的东西。
果然由sinx+cosx转换到sinxcosx需要升幂运算，换句话来说sinx+cosx到sin2x也要经过升幂运算。这个结论不从复数的角度来看也可以轻易得到，那么我们从复数的角度看这个问题可能会得到一些别的东西，首先用复数将sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx表示出来：
满足甘老师给出的关系式。我们观察这sinx+cosx，sinx-cosx这两个式子的复数表示，发现呈一定的对称。将sinx+cosx，sinx-cosx这两个式子的复数表达式平方后很自然的就得到了sinx+cosx，sinx-cosx的和为2和与sinθcosθ之间的关系。希望各位老师动手或者动脑计算一下复数表达式，这在我们接下来的计算有些用。
二、推广到一般情况
我们考虑asinθ+bcosθ，asinθ-bcosθ的情况，可以轻易得出（不用重新计算，只需将括号中的i和1的系数替换成a和b）：
还是按照甘老师升幂的思路，我们能得到什么呢：
还是我们熟悉的对称形式，当a,b都为1时满足甘老师提供的形式，我们将它稍微化简一下：
三、推广的应用
这个式子有什么用呢？我们可以调整cos2θ，sin2θ这两项前面的系数，来达到命题方面的需求。我们可以令：
怎么调系数都凭各位老师喜好，但是甘老师所介绍的三角代换可以在代数方面的快捷应用却是这个推论比拟不了的，当然进一步的深入挖掘老师们如果心得体会，可以一起交流。
四、复数角度理解三角变换
那么看来从复数的角度看这个三角变换没有得到什么好处，就算得到的推广结论也是可以从三角变换轻松得到（反过来说从三角变换得到的在复数上也可以得到）。除了复数的角度更直观，更加符合人的自然逻辑思维，就没有什么用处了么?
当然不是了，复数在证明一些三角函数公式上有着天然的优势。比如证明二倍角公式，积化和差和差化积公式之类的高中涉及到的三角公式，都会很快证明出来，并且对三角公式为什么长成这个样子有个直观的感受。比如说：
两个正弦化成两个三角函数的乘积，左边相加在复数上分母一定是有i的，所以右边的乘积分母肯定要有i，最后肯定是一个正弦一个余弦相乘啦！你看两个余弦相加右边肯定都是正弦或者都是余弦的乘积啦。而且和差化积中也没法出现一正弦和一余弦相加的情况，因为分母的i不好处理。
写到这里，小编想说的是可能从复变的角度没法帮助你秒杀题目。但是能给你个估计，有个大概的思路。比如说今年一卷的求2sinx+sin2x最值问题，有的人肯定会在三角变换上下功夫（比如小编现在还在想从三角变换的角度把这道题做出来），但是你考虑这个式子的复数形式，只能得出一条平行于虚轴的复平面向量。这个时候还是早早转变思路为好。
今天介绍的观点很老，用处也很有限。相比于甘老师的研究工作，本文章研究深度比较有限，但却是小编真实思考探索的过程，感觉非常充实。希望老师们看完文章之后也能带着思考，带着探究的心态来学习甘志国老师的专题。
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