栈

栈的一个最重要的特征就是栈的插入和删除只能在栈顶进行，所以每次删除的元素都是最后进栈的元素，故栈也被称为后进先出（LIFO）表;

栈有两种存储方式，即 线性存储、链接存储(链表);

一、线性存储

一个栈顶指针，它初始值为-1，且总是指向最后一个入栈的元素，栈有两种处理方式，即压栈（push）和出栈（pop）；

#define MAXSIZE 20 /* 存储空间初始分配量 */
typedef int Status;
typedef int SElemType; /* SElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int */

/* 顺序栈结构 */
typedef struct
{
    SElemType data[MAXSIZE];
    int top; /* 用于栈顶指针 */
}SqStack;

1. 构建一个空栈S

Status InitStack(SqStack *S){
   
    S->top = -1;
    return OK;
}

2. 将栈置空

Status ClearStack(SqStack *S){
    
    //疑问: 将栈置空,需要将顺序栈的元素都清空吗?
    //不需要,只需要修改top标签就可以了.
    S->top = -1;
    return OK;
}

3. 判断顺序栈是否为空

Status StackEmpty(SqStack S){
    if (S.top == -1)
        return TRUE;
    else
        return FALSE;
}

4. 返回栈的长度

int StackLength(SqStack S){
    return S.top + 1;
}

5. 获取栈顶

Status GetTop(SqStack S,SElemType *e){
    if (S.top == -1)
        return ERROR;
    else
        *e = S.data[S.top];
   
    return OK;
    
}

6. 插入元素e为新栈顶元素

Status PushData(SqStack *S, SElemType e){
    //栈已满
    if (S->top == MAXSIZE -1) {
        return ERROR;
    }
    //栈顶指针+1;
    S->top ++;
    //将新插入的元素赋值给栈顶空间
    S->data[S->top] = e;
    
    return OK;
}

7. 删除S栈顶元素,并且用e带回

Status Pop(SqStack *S,SElemType *e){
   
    //空栈,则返回error;
    if (S->top == -1) {
        return ERROR;
    }
    
    //将要删除的栈顶元素赋值给e
    *e = S->data[S->top];
    //栈顶指针--;
    S->top--;
    
    return OK;
}

8. 从栈底到栈顶依次对栈中的每个元素打印

Status StackTraverse(SqStack S){
    int i = 0;
    printf("此栈中所有元素");
    while (i<=S.top) {
        printf("%d ",S.data[i++]);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

二、链接存储

#define MAXSIZE 20 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;
typedef int SElemType; /* SElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int */

/* 链栈结构 */
typedef struct StackNode
{
    SElemType data;
    struct StackNode *next;
}StackNode,*LinkStackPtr;

typedef struct
{
    LinkStackPtr top;
    int count;
}LinkStack;

1、构造一个空栈S

Status InitStack(LinkStack *S)
{
    S->top=NULL;
    S->count=0;
    return OK;
}

2、把链栈S置为空栈

Status ClearStack(LinkStack *S){
    LinkStackPtr p,q;
    p = S->top;
    while (p) {
        q = p;
        p = p->next;
        free(q);
    }
    S->count = 0;
    return OK;
}

3、若栈S为空栈,则返回TRUE, 否则返回FALSE

Status StackEmpty(LinkStack S){
    if (S.count == 0)
        return TRUE;
    else
        return FALSE;
}

4、返回S的元素个数,即栈的长度

int StackLength(LinkStack S){
    return S.count;
}

5、若链栈S不为空,则用e返回栈顶元素,并返回OK ,否则返回ERROR

Status GetTop(LinkStack S,SElemType *e){
    if(S.top == NULL)
        return ERROR;
    else
        *e = S.top->data;
    return OK;
}

6、插入元素e到链栈S (成为栈顶新元素)

Status Push(LinkStack *S, SElemType e){
    
    //创建新结点temp
    LinkStackPtr temp = (LinkStackPtr)malloc(sizeof(StackNode));
    //赋值
    temp->data = e;
    //把当前的栈顶元素赋值给新结点的直接后继, 参考图例第①步骤;
    temp->next = S->top;
    //将新结点temp 赋值给栈顶指针,参考图例第②步骤;
    S->top = temp;
    S->count++;
    return OK;
}

7 、若栈不为空,则删除S的栈顶元素,用e返回其值. 并返回OK,否则返回ERROR

Status Pop(LinkStack *S,SElemType *e){
    LinkStackPtr p;
    if (StackEmpty(*S)) {
        return ERROR;
    }
    
    //将栈顶元素赋值给*e
    *e = S->top->data;
    //将栈顶结点赋值给p,参考图例①
    p = S->top;
    //使得栈顶指针下移一位, 指向后一结点. 参考图例②
    S->top= S->top->next;
    //释放p
    free(p);
    //个数--
    S->count--;
    
    return OK;
}

8 、遍历链栈

Status StackTraverse(LinkStack S){
    LinkStackPtr p;
    p = S.top;
    while (p) {
        printf("%d ",p->data);
        p = p->next;
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

三、栈和递归

什么是递归?
若在⼀个函数,过程或数据结构定义的内部⼜直接(或间接)出现定义本身的应⽤; 则称为他们是 递归的. 或者是递归定义. 在下⾯3种情况下,我们会使⽤到递归来解决问题;

1. 定义是递归的.

阶乘

long Fact (long n)
{
    if (n=0) return -1;
    else return n * Fact(n-1);
}

斐波拉契数

long Fib（long n）
{
    if(n == 1 || n == 2) return 1;
    else return Fib（n-1）+ Fib（n-2;
}
时间复杂度O (n^2)

long Fib2（long n）
{
    if(n<=1) return n;
    int first = 0;
    int second = 1;
    for (int i =0; i<n-1; i++) {
        int sum = first+second;
        first = second;
        second = sum;
    }
    return second;
}
或
long Fib3（long n）
{
    if(n<=1) return n;
    int first = 0;
    int second = 1;
    for (int i =0; i<n-1; i++) {
        second = first+second;
        first =  second -first;
    }
    return second;
}

时间复杂度O (n)

汉诺塔

int m = 0;
void moves(char X,int n,char Y){
    m++;
    printf("%d: from %c ——> %c \n",n,X,Y);
}
//n为当前盘子编号. ABC为塔盘
void Hanoi(int n ,char A,char B,char C){
    
    //目标: 将塔盘A上的圆盘按规则移动到塔盘C上,B作为辅助塔盘;
    
    //将编号为1的圆盘从A移动到C上
    if(n==1) moves(A, 1, C);
    else {
        //将塔盘A上的编号为1至n-1的圆盘移动到塔盘B上,C作为辅助塔;
        Hanoi(n-1, A, C, B);
        //将编号为n的圆盘从A移动到C上;
        moves(A, n, C);
        //将塔盘B上的编号为1至n-1的圆盘移动到塔盘C上,A作为辅助塔;
        Hanoi(n-1, B, A, C);
    }
}

对于类似这种复杂问题,若能够分解成⼏个简单且解法相同或类似的⼦问题,来求解,便称为递归求解.

例如,在求解4!时先求解3!,然后再进⼀步分解进⾏求解, 这种求解⽅式叫做"分治法".

采取"分治法"进⾏递归求解的问题需满⾜以下三个条件:

1、能将⼀个问题转换变成⼀个⼩问题,⽽新问题和原问题解法相同或类同. 不同的仅仅是处理的对象, 并且 这些处理更⼩且变化有规律的.
2、可以通过上述转换⽽使得问题简化
3、必须有⼀个明确的递归出⼝, 或称为递归边界.

void p(参数表)
{ 
    if(递归结束条件成⽴) 可直接求解; //递归终⽌条件  
    else p(较⼩的参数); //递归步骤
}

2、 数据结构是递归的.

其数据结构本身具有递归的特性. 例如,对于链表,其结点LNode的定义由数据域data 和指针域next 组成,⽽指针域next是⼀种指向LNode类 型的指针,即LNode的定义中⼜⽤到了其⾃身. 所以链表是⼀种递归的数据结构；

void TraverseList(LinkList p)
{ //递归终⽌ 
   if(p == NULL) return; 
   else{ //输出当前结点的数据域 
          printf("%d",p->data); //p指向后继结点继续递归 
          TraverseList(p->next); 
        }
 }