堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。
基本思想：
堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）或最大项（大顶堆）。若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。
初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n个元素中最大(或最小)的元素，这时堆的根节点的数最大（或最小）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n个元素中次大(或次小)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。
因此，实现堆排序需解决两个问题：
-
如何将n个待排序的数建成堆。
-
输出堆顶元素后，怎样调整剩余 n-1 个元素，使其成为一个新堆。
首先讨论第二个问题：
输出堆顶元素后，对剩余 n-1 元素重新建成堆的调整过程（调整大顶堆的方法）：
1）设有 n 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下 n-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2）将根结点与左、右子树中较大元素的进行交换。
3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.
4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.
5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。
再讨论对 n 元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。
1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第 n/2 个结点的子树。
2）筛选从第 n/2 个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。
算法的实现：
从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
// 输出数组内容
void print(int array[], int length, int i) {
printf("i=%d:",i);
for (int j = 0; j < length; j++) {
printf(" %d ", array[j]);
}
printf("\n");
}
/**
* 已知 H[s...m] 除了 H[s] 外均满足堆的定义
* 调整 H[s] 使其成为大顶堆，即将对第 s 个结点为根的子树筛选
*
* @param H 是待调整的堆数组
* @param s 是待调整的数组元素的位置
* @param length 是数组的长度
*/
void HeapAdjust(int H[], int s, int length) {
int temp = H[s];
int child = 2*s + 1; // 左孩子结点的位置
while (child < length) {
if (child + 1 < length && H[child] < H[child+1]) {
// 如果右孩子大于左孩子（找到比当前待调整结点大的孩子结点）
++ child;
}
if (H[s] < H[child]) { // 如果较大的子结点大于父结点
H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移，替换它的父结点
s = child; // 重新设置 s，即待调整的下一个结点的位置
child = 2*s + 1;
} else {
// 如果当前待调整结点大于它的左右孩子，则不需要调整，直接退出
break;
}
H[s] = temp; // 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上
}
print(H, length, s);
}
/**
* 初始堆进行调整
* 将 H[0...length-1]建成堆
* 调整完之后第一个元素是序列的最小值
*/
void BuildingHeap(int H[], int length) {
// 最后一个有孩子的节点的位置 i = (length - 1) / 2
for (int i = (length -1) / 2; i >= 0; i --) {
HeapAdjust(H, i, length);
}
}
/**
* 堆排序算法
*/
void HeapSort(int H[], int length) {
// 初始堆
BuildingHeap(H, length);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整
for (int i = length - 1; i > 0; i --) {
// 交换堆顶元素 H[0] 和堆中最后一个元素
int temp = H[i];
H[i] = H[0];
H[0] = temp;
// 每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整
HeapAdjust(H, 0, i);
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int arrayHeapSort[8] = { 49,38,65,97,76,13,27,49 };
HeapSort(arrayHeapSort, 8);
print(arrayHeapSort, 8, 0);
printf("\n");
return 0;
}
总结
堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。
网友评论