## 题目描述
这是 LeetCode 上的 **[1846. 减小和重新排列数组后的最大元素](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-element-after-decreasing-and-rearranging/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-yh9qt/)** ，难度为 **中等**。
Tag : 「贪心」
给你一个正整数数组 `arr`。
请你对 `arr` 执行一些操作（也可以不进行任何操作），使得数组满足以下条件：
1. `arr` 中 第一个 元素必须为 $1$
2. 任意相邻两个元素的差的绝对值小于等于 $1$
对于任意的 $1 <= i < arr.length$ ，都满足 `abs(arr[i]-arr[i-1])<=1`，`abs(x)` 为 `x` 的绝对值。
你可以执行以下 $2$ 种操作任意次：
* 减小 `arr` 中任意元素的值，使其变为一个更小的正整数
* 重新排列 `arr` 中的元素，你可以以任意顺序重新排列
请你返回执行以上操作后，在满足前文所述的条件下，`arr` 中可能的最大值。
示例 1：
```
输入：arr = [2,2,1,2,1]
输出：2
解释：
我们可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] ，该数组满足所有条件。
arr 中最大元素为 2 。
```
示例 2：
```
输入：arr = [100,1,1000]
输出：3
解释：
一个可行的方案如下：
1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 。
2. 将第二个元素减小为 2 。
3. 将第三个元素减小为 3 。
现在 arr = [1,2,3] ，满足所有条件。
arr 中最大元素为 3 。
```
示例 3：
```
输入：arr = [1,2,3,4,5]
输出：5
解释：数组已经满足所有条件，最大元素为 5 。
```
提示：
* $1 <= arr.length <= 10^5$
* $1 <= arr[i] <= 10^9$
## 基本分析 & 证明
根据题意，数组的第一位必须是 $1$，且每个数只能 **减小** 或 **不变**，数值位置可以任意调整。
求解经过调整后，符合要求的数组中的最大值是多少。
首先符合条件的数组相邻位差值绝对值不超过 $1$，这限定了数组的必然是如下三种分布之一：
* （非严格）单调递减
* 存在波段
* （非严格）单调递增
*证明一：取得最优解对应的数组「必然是」或者「可调整为」（非严格）单调递增的形式。*
我们使用反证法来证明另外两种分布不能取得最优解：
* （非严格）单调递减：题目限定了数的范围为正整数，且第一位为 $1$，这种情况不用讨论了，跳过；
* 存在波段：我们始终可以将波峰的右侧出现的值，纳入到波峰的左侧，从而消掉这个波峰，最终将整个分布调整为「（非严格）单调递增」的形式，结果不会变差：
多个波段的情况也是同理，可以自己在纸上画画。
都是利用 *波峰右侧的点可以调整成波峰左侧的点，从而使分布变为（非严格）单调递增*。
*至此，我们证明了最优解对应的数组必然符合（非严格）单调递增。*
这启发我们可以先对原数组排个序，在此基础上进行分析。
对原数组排序得到的有序数组，不一定是符合「相邻位差值绝对值不超过 $1$」的，同时由于每个数值可以选择 **减小** 或 **不变**。
*证明二：当必须要对当前位进行调整的时，优先选择调整为「与前一值差值为 $1$ 的较大数」不会比调整为「与前一差值为 $0$ 的较小数」更差。*
这可以使用归纳推理，假设采取「优先调整为与前一值差值为 $1$ 的较大数」得到的序列为 `a`，采用「优先调整与前一差值为 $0$ 的较小数」得到的序列为 `b`。
*根据「$a[0] = b[0] = 1$」、「`a` 和 `b` 长度一致」、「`a` 和 `b` 均为（非严格）单调递增」以及「`a` 和 `b` 均满足相邻位差值不超过 $1$」，可推导出 $sum(a) >= sum(b)$，和任意位置 $a[i] >= b[i]$，从而推导出 `a` 序列的最后一位必然大于等于 `b` 的最后一位。*
即 `b` 不会比 `a` 更优。
*证明三：调整大小的操作不会改变数组元素之间的相对位置关系。*
在证明二的分析中，我们会对某些元素进行“减小”操作，使得整个数组最终满足「相邻位差值绝对值不超过 $1$」。
但该证明成立的还有一个很重要的前提条件，就是调整操作不会出发元素的位置重排。
那么该前提条件是否必然成立呢？答案是必然成立。
假设原排序数组中存在需要调整的点 $i$ 和点 $j$，且 $nums[i] <= nums[j]$。
为了让数组满足条件，它们都进行了“减少”操作的调整，分别变为了 $p$ 和 $q$，如果触发位置重排的话，必然有 $nums[p] >= nums[q]$。
此时，我们能够通过调整它们的变化关系：点 $i$ 变为点 $q$、点 $j$ 变成点 $p$ 来确保同样满足条件，且不触发元素在有序数组中的位置重排。
## 贪心
排序，限定第一位值为 $1$，从前往后处理，根据每一位是否「必须修改（与上一位差值是否大于 $1$）」做决策，如果必须被修改，则修改为与前一值差值为 $1$ 的较大数。
代码：
```Java
class Solution {
public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) {
int n = arr.length;
Arrays.sort(arr);
arr[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) {
arr[i] = arr[i - 1] + 1;
}
}
return arr[n - 1];
}
}
```
* 时间复杂度：假定 `Arrays.sort` 使用的是双轴快排实现。复杂度为 $O(n\log{n})$
* 空间复杂度：假定 `Arrays.sort` 使用的是双轴快排实现。复杂度为 $O(\log{n})$
## 最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1846` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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