1. 基本初等函数

常函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数。

• 常函数：在数学中，常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变的函数。
• 幂函数：power function。一般地，（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。注意，系数得为 1。
• 指数函数：一般地， 函数(a 为常数且以 a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。注意，在指数函数的定义表达式中，在 前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数 。
• 对数函数：是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
• 三角函数：
  正弦、余割函数
  
  余弦、切割函数
  
  正切、余切函数
  
• 反三角函数：三角函数的反函数。

2. 初等函数

在基本初等函数基础上进行有限次数的四则运算或者复合运算得到的，并且在定义域上能用一个方程式表示的。

例如：y=3x，该函数就是常数函数 y=3 和 幂函数 y=x 进行相乘运算得到的初等函数。

3. 简单函数

其中，在基本初等函数基础上进行有限次数的四则运算得到的函数又叫简单函数。上述 2 中，y=3x 具体来说是简单函数。

4. 非初等函数

例如以下两类函数。

4.1 取整函数

y=[x]，有如下性质：[x] <= x < [x] + 1、x - 1 < [x] <= x。

取整函数其实也是个分段函数，例如在 0 <= x < 1 上 y = 0，在 1 <= x < 2 上 y = 1，... 依次类推，在负数区间上亦是如此。

4.2 部分分段函数

一般来说，分段函数是非初等函数，如下所示。根据初等函数的定义，此分段函数无法在定义域上只通过一个方程式表达。

为什么说是部分？看如下分段函数2。

这个分段函数可表示为：

是由基本初等函数 和 复合运算得到的初等函数。

5. 举例

如下式所示，该函数是不是初等函数？

答：是初等函数。因为它是由基本初等函数 经过8次四则运算和2次复合运算得到的初等函数。

6. 补充

大多数情况下，如果一个函数是解析式子，那么它就是初等函数。