2.3.2 边缘高斯分布

作者: golfgang | 来源:发表于2019-02-19 21:21 被阅读0次

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由上一章知道如果联合分布 $p(x_a, x_b)$ 为高斯分布，则条件概率分布 $p(x_a|x_b)$ 也是高斯分布，现在讨论边缘概率分布
$p(x_a) = \int p(x_a,x_b)dx_b$
和上一章一样，我们从联合分布的指数项的二次型出发，找出边缘分布 $p(x_a)$ 的均值和方差

再次拿出使用分块精度矩阵表示的二次型公式
$-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) = \\ -\frac{1}{2}(x_a-\mu_a)^T\wedge_{aa}(x_a-\mu_a)-\frac{1}{2}(x_a-\mu_b)^T\wedge_{ab}(x_a-\mu_b)\\ -\frac{1}{2}(x_b-\mu_a)^T\wedge_{ba}(x_b-\mu_a)-\frac{1}{2}(x_b-\mu_b)^T\wedge_{bb}(x_b-\mu_b)$
这次目标是积分出 $x_b$ ，配出平方能够使得积分更加方便的运算(???)
$首先考虑涉及x_b的项，和x_a相反，有\\ -\frac{1}{2}x_b^T\wedge_{bb}x_b + x_b^Tm = -\frac{1}{2}(x_b-\wedge_{bb}^{-1}m)^T\wedge_{bb}(x_b-\wedge_{bb}^{-1}m)+\frac{1}{2}m^T\wedge_{bb}^{-1}m\\ 其中m=\wedge_{bb}\mu_b-\wedge_{ba}(x_a-\mu_a)$

上面的公式的右边的第一项就是关于 $x_b$ 的标准的二次型，第二项是与 $x_b$ 无关的常数项（但与 $x_a$ 相关）

在 $p(x_a) = \int p(x_a,x_b)dx_b$ 上，我们取这个标准的二次型作为高斯分布的指数项(因为剩余的常数项可以直接写道积分外面)，有
$\int exp\{ -\frac{1}{2}(x_b-\wedge_{bb}^{-1}m)^T\wedge_{bb}(x_b-\wedge_{bb}^{-1}m)\}dx_b$

为什么要给 $x_b$ 配平方？？？？
因为高斯分布的系数与均值无关，只依赖于协方差矩阵（在这里是 $\wedge_{bb}^{-1}$ ），因此即使均值中有关于 $x_a$ 的项也没有关系，积分结果与均值无关！！！你就想一个高斯分布，均值只决定了高峰在x轴上的哪个位置上而已。

现在我们来考察 $\exp\{x_a相关 \}$ 的项，因为可以提取出积分外面，暂时不再考虑积分里面 $x_b$ 的积分结果，结合配方后遗留下来的 $x_a$ 相关的项（左侧的最后一项）和与在上一章中求过的 $x_a$ 相关的项，有
$\frac{1}{2}[\wedge_{bb}\mu_b-\wedge_{ba}(x_a-\mu_b)]^T\wedge_{bb}^{-1}[\wedge_{bb}\mu_{b}-\wedge_{ba}(x_a-\mu_a)]\\ -\frac{1}{2}x_a^T\wedge_{aa}x_a+a^T(\wedge_{aa}\mu_a-\wedge_{ab}(x_b-\mu_b))+C\\ =-\frac{1}{2}x_a^T(\wedge_{aa}-\wedge_{ab}\wedge_{bb}^{-1}\wedge_{ba})x_a+x_a^T(\wedge_{aa}-\wedge_{ab}\wedge_{bb}^{-1}\wedge_{ba})\mu_a +C$

可以看出协方差矩阵 $\Sigma_a=(\wedge_{aa}-\wedge_{ab}\wedge_{bb}^{-1}\wedge_{ba})^{-1}$ ，均值为 $\mu_a$

还记得上一章中分块矩阵的逆矩阵的恒等式，不难得出
$\wedge_{aa}-\wedge_{ab}\wedge_{bb}^{-1}\wedge_{ba}^{-1}=\Sigma_{aa}$

结论
$E[x_a]=\mu_a\\ cov[x_a]=\Sigma_{aa}$

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