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吴军在《再谈递归原理》一文中提到了一个例子，用来解释递归的思想。该例子是其同事出的一道面试题：现在两个人玩一个游戏，从零开始往上加数，每个人依次在对方的基础上选择加1或者加2，谁正好加到20就算赢，那么怎样玩才能保证赢？
我从数学的角度来思考下这个问题。
在此之前，先介绍模的概念，详细的信息可以上wiki上查询，这里我们可以把模当做求余数， 20 模 3，或20 mod 3或20(mod 3) 就是指20被3反复除之后的余数。比如20 mod 3 = 2, 21 mod 3 = 0 , 3 mod 2 = 1.
由于20(mod 3) = 2 > 0，所以谁先数数谁就能赢下比赛。策略就是先数2，接下来无论对方往 上加几(记为s)，则你只要加3-s即可。即后继始终保持你俩往上加的数的和为3。这样只需要六轮你就能赢下比赛。
那么是否先数的一定能赢呢？若我们改变最后的终止条件，变成谁加到21谁就赢，那就变成后数的赢了。
由于21(mod 3) = 0，所以先数的人无论加几(s)，后数的人以上述同样的策略加``3-s```就能赢下比赛。
上述的2、20都是具体的数字，我们把它们换成自然数m、n，即游戏变成：现在有两人玩一个游戏，从零开始往上加数，第个人可以选择加1至m中的一个数，谁加到n就算赢，那么怎样玩才能保证赢？
设p = n mod (m+1)，若p=0则先数数的人输，反之先数数的人赢。赢的策略就是无论对方加几(记为s)，你只要加m+1-s。
也许你注意到了，虽然每个人加的数会有变化，但这个游戏中有一件事是能做到不变的：无论对方加几，你都有办法使你俩累加的数字和为m+1。
我们来证明一下。
设对方这次往上加s，则有1<= s <= m，若我在此基础上选择加m+1-s，则我俩这次共往上加了s+m+1-s = m。
这里还需要证明一个问题：我能保证加m+1-s？由于1=m+1-m <= m+1-s <= m+1-1=m，根据游戏规则，我可以选择1至m内的任意自然数，而m+1-s在这个选择范围内，于是我始终能做到这点。
为什么会想到是m+1？这也是通过归纳总结出来的，还是以20为例，要想数到20，自己必须数到17，这样与20保持3个距离使对方无论数到而自己再一次数时一定能数到20，所以2+1是个刚刚合适的距离。
同样要数到17就得数到14、11、8、5、2. 我们能发现始终以3为距离减少直至不能再减，这就是求余或模的概念。
从这个游戏，也说明一个事实，就是看似公平的游戏可能并不公平。比如买彩票，表面上看起来很公平，也有很多人能赚个几百万，但只要知道一点统计学的知识，就能知道只要玩的次数够多，任何一个玩家最后一定会输。
所以为了尽可能避免进入这类看似公平的游戏，多点知识储备还是很有必要的。
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