题目49：丑数

我们把只包含因子2、3 和5 的数称作丑数（Ugly Number）。求从小到大的顺序的第1500个丑数。

举例说明

例如6、8 都是丑数，但14 不是，它包含因子7。习惯上我们把1 当做第一个丑数。

思路

方法一：逐个判断每个整数是不是丑数的解法，暴力但不够高效

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是说n%m == 0
根据丑数的定义，丑数只能被2，3，5整除。也就是说如果一个数能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以5.如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

接下来，我们只需要按照顺序判断每个整数是不是丑数，

代码实现

public class _49{   
    public static boolean isUgly(int number){
        while(number % 2 == 0)
            number/=2;
        while(number % 3 == 0)
            number /=3;
        while(number % 5 == 0)
            number /=5;
        return number == 1;
    }
    public static int getUglyNumber(int index){
        if(index <= 0)
            return 0;
        int num= 0;
        int uglyFound = 0;
        while(uglyFound < index){
            num++;
            if(isUgly(num)){
                ++uglyFound;
            }
        }
        return num;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getUglyNumber(1500)); // 859963392
    }
}

丑数

方法二：创建数组保存已经找到的丑数，用空间换时间的解法

前面的算法之所以效率低，很大程度上是因为不管一个数是不是丑数我们对它都要作计算。接下来我们试着找到一种只要计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花费时间。

根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2，3，5的结果。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排序好的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2，3，5得到的。

这种思路的关键在于怎样确定数组里面的丑数是排序好的。假设数组中已经有若干个丑数排好后存放在数组中，并且把已有的最大的丑数记作M，我们接下来分析如何生成下一个丑数。该丑数肯定是前面某个丑数乘以2，3，5的结果。所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2.在乘以2的时候，能得到若干个小于或等于M的结果。由于是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需要再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是指按从小到大的顺序生成的，其他更大的结果以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果即为M2。同样，我们把已有的每一个丑数乘以3，5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2,M3,M5这3个数的最小者。

前面分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2，3，5。事实上这不是必须的，因为已有的丑数都是按顺序存放在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有的最大丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，也存在这同样的T3和T5。

例如：当前数组中的丑数是：1，此时21，31，51，中最小的是2，将2存到数组中，此时数组中的数为1，2。Max=2，又因为21==Max，因此2乘的丑数应该为22，31>2,5*1>2,在新的4，3，5中最小的为3将3存到数组中，依次循环。

在求解的过程中，进行从小到大依次求得丑数；
每个丑数都是较小的丑数乘以2、3、5得到的；
分别用三个指针指向需要分别乘以2、3、5的基丑数；
每次取求得的三个丑数中的最小的一个，作为当前要求的丑数。

代码实现

public class _49 {
    public static int getUglyNumber(int index) {
        if (index < 0)
            return 0;
        int urgly[] = new int[index];// 辅助数组
        urgly[0] = 1;
        int min;// min用于保存新产生的大于当前数组最大值的最小丑数
        int nextindex2 = 0, nextindex3 = 0, nextindex5 = 0;
        for(int urglyindex = 1;urglyindex < index;urglyindex++) {
            min = urgly[nextindex2] *2< urgly[nextindex3] *3 ? urgly[nextindex2] *2 : urgly[nextindex3] *3;
            min = min < urgly[nextindex5] *5 ? min : urgly[nextindex5] *5;
            urgly[urglyindex] = min;
            while (urgly[nextindex2] * 2 <= min) {// 如果urgly[nextindex2]小于当前数组的最大值
                nextindex2++;
            }
            while (urgly[nextindex3] * 3 <= min) {// 如果urgly[nextindex3]小于当前数组的最大值
                nextindex3++;
            }
            while (urgly[nextindex5] * 5 <= min) {// 如果urgly[nextindex5]小于当前数组的最大值
                nextindex5++;
            }   
        }
        return urgly[index - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getUglyNumber(1500)); // 859963392
    }
}

丑数