二叉查找树定义
二叉查找树(Binary Search Tree), 也称为二叉搜索树, 有序二叉树(ordered binary tree), 排序二叉树(sorted binary tree), 是指一颗空树或具有以下性质的二叉树:
1. 任意节点的左子树不空, 则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
2. 任意节点的右子树不空, 则右子树上所有节点均大于它的根节点的值
3. 任意节点的左,右子树也分别为二叉查找树
4. 没有键值相等的节点
二叉查找树通常采用二叉链表作为二叉查找树的存储结构, 相比于其他数据结构的优势在于查找,插入时间复杂度较低, 为O(log n). 它是基础的数据结构, 用于构建 红黑数, B-Tree, B+Tree, B*Tree等.
二叉查找树的Java实现
1. 二叉查找树节点定义
public class BSTNode<T extends Comparable<T>> {
T key; // 关键字(键值)
BSTNode<T> left; // 左孩子
BSTNode<T> right; // 右孩子
BSTNode<T> parent; // 父结点
public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
this.key = key;
this.parent = parent;
this.left = left;
this.right = right;
}
public T getKey() {
return key;
}
public String toString() {
return "key:"+key;
}
}
BSTNode是二叉查找树的内部节点, 它包含以下信息:
- key 对二叉树进行排序的依据
- left 左边子节点
- right 右边子节点
- parent 当前节点的父节点
2. 二叉查找树的查找
/*
* (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
*/
private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {
if (x==null)
return x;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
return search(x.left, key);
else if (cmp > 0)
return search(x.right, key);
else
return x;
}
public BSTNode<T> search(T key) {
return search(mRoot, key);
}
search 的过程比较简单, 从根节点开始, 根据给定的key与节点的key值进行比较, 直到 "cmp" = 0 或节点x = 0.
3. 查找最大值, 最小值
最大值
/*
* 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
*/
private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.right != null)
tree = tree.right;
return tree;
}
public T maximum() {
BSTNode<T> p = maximum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
最小值
/*
* 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
*/
private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.left != null)
tree = tree.left;
return tree;
}
public T minimum() {
BSTNode<T> p = minimum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
4. 查找前继节点(predecessor) 后继节点(successor)
查找前继节点
/*
* 找结点(x)的前继结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
*/
public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {
// 如果x存在左孩子，则"x的前继结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
if (x.left != null)
return maximum(x.left);
// 如果x没有左孩子。则x由分以下两种情况讨论：
// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且x在该父结点右子树上孩子或是其又子节点"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前继结点"。
BSTNode<T> y = x.parent;
while ((y!=null) && (x==y.left)) {
x = y;
y = y.parent;
}
return y;
}
查找后继节点
/*
* 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
*/
public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {
// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
if (x.right != null)
return minimum(x.right);
// 如果x没有右孩子。则x分以下两种情况进行讨论：
// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且x是该父结点左子树上的孩子节点或直接是左子节点"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
BSTNode<T> y = x.parent;
while ((y!=null) && (x==y.right)) {
x = y;
y = y.parent;
}
return y;
}
5. 插入节点
/*
* 将结点插入到二叉树中
*
* 参数说明：
* tree 二叉树的
* z 插入的结点
*/
private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
int cmp;
BSTNode<T> y = null;
BSTNode<T> x = bst.mRoot;
// 1. 查找z的插入位置
while (x != null) {
y = x;
cmp = z.key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else
x = x.right;
}
//2. 根据位置决定放在root节点, y的左/右边
z.parent = y;
if (y==null) // y是null
bst.mRoot = z;
else {
cmp = z.key.compareTo(y.key);
if (cmp < 0)
y.left = z;
else
y.right = z;
}
}
/*
* 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中
*
* 参数说明：
* tree 二叉树的根结点
* key 插入结点的键值
*/
public void insert(T key) {
BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);
// 如果新建结点失败，则返回。
if (z != null)
insert(this, z);
}
5. 删除节点
/*
* 删除结点(z)，并返回被删除的结点
*
* 参数说明：
* bst 二叉树
* z 删除的结点
*/
private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
BSTNode<T> x=null;
BSTNode<T> y=null;
/** 1. 待删除节点情况
* 1) 节点z最多一个子节点, 则删除z后将对应子节点代替原来的位置
* 2) 节点有两个子节点, 调用 successor方法获取其后继节点, 后继节点代替原来的那个节点
*/
if ((z.left == null) || (z.right == null) )
y = z; // 节点z最多有一个子节点
else{
// 这里有个知识点, 既然y是后继节点, 则 y 必定没有两个子节点
y = successor(z); // 节点z有两个子节点, 则调用 successor 查询z对应的子节点
}
// 2. 将待删除节点的子节点赋值给x
if (y.left != null)
x = y.left;
else
x = y.right;
/**
* x 情况
* 1. x是被删除节点的子节点
* 2. x是被删除节点的后继节点的子节点
*/
if (x != null) {
x.parent = y.parent;
}
// y.parent == null, 则说明y是mRoot节点
if (y.parent == null)
bst.mRoot = x;
else if (y == y.parent.left)
y.parent.left = x;
else
y.parent.right = x;
// 若y是z的后继节点
if (y != z) {
z.key = y.key;
}
return y;
}
6. 二叉查找树完整实现代码
二叉查找树Java实现 BSTree.java
总结
二叉查找树总体实现比较简单, 但这是学习 RBTree, B-Tree, B+Tree 等数据结构的基础
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