小结
- 向量的定义
- 向量方程的定义和求解
- 与的几何解释
中的向量
仅含一列的矩阵称为&列向量,或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为:,其中和是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为,表示向量中的元素是实数,而指数2表示每个向量包含两个元素。
中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即中的向量是实数的有序对。
给定实数和中两个向量和,它们的和是把和对应元素相加所得的向量。和的标量乘法(或数乘)是把的每个元素乘以,所得向量记为。中的数称为标量(或数)。
给定和,求
解:
的几何表示
考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定,所以可把几何点与列向量等同。因此我们可把看作平面上所有点的集合。
向量的几何表示是一条由原点指向点的有向线段。
向量加法的平行四边形法则
若中向量和向量用平面上的点表示,则对应于以,和为顶点的平行四边形的第4个顶点。
中的向量
中向量是列矩阵,有3个元素。它们表示三维空间中的点,或起点为原点的箭头。
若是正整数,则表示所有个实数数列(或有序元组)的集合,通常写成列矩阵的形式,。
所有元素都是零的向量称为零向量,用表示。
中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于中的定义。
中向量的代数性质
对中一切向量以及标量和:
线性组合
给定中向量和标量,向量称为向量以为权的线性组合。形如的方程称为向量方程。
设,,,确定能否写成和的线性组合,也就是说,确定是否存在权和使。
解:
向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即和满足当且仅当和满足方程组。
用行化简算法将方程组的增广矩阵化简,以此解方程组:
~~~~
由阶梯形矩阵最右列不是主元列,可知其有解。解为。
因此是与的线性组合,权为。
若是矩阵。的各列是中的向量,用表示,则A=。
注意:求解过程中,增广矩阵的3列分别对应于。即增广矩阵可直接写为:。
向量方程和增广矩阵为的线性方程组有相同的解。特别地,可表示为的线性组合当且仅当线性方程组有解。
与的几何解释
若是中的向量,则的所有线性组合所成的集合用记号表示,称为由所生成(或张成)的的子集。也就是说,是所有形如的向量的集合,其中为标量。
要判断向量是否属于,就是判断向量方程是否有解,或等价地,判断增广矩阵为的线性方程组是否有解。
设是中的向量,那么就是的所有标量倍数的集合,也就是中通过和的直线上所有点的集合。
若和是中的非零向量,不是的倍数,则是中包含,和的平面。
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