函数、极限、连续部分基础

知识点罗列

函数的概念及其表示法，符合函数与分段函数，基本初等函数的性质及其图形，极限的概念与左、右极限的概念以及他们之间的关系，极限的性质及其运算法则，极限存在的两个准则并用他们判别极限的存在性，两个重要极限，无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系，无穷小的比较的概念并会用等价无穷小替换定力求极限，几个重要的等价无穷小，洛必达法则，佩亚诺余项泰勒公式并会用它求某些极限，函数的连续与左右连续，闭区间上连续函数的性质（有界性，最大最小值定理，介值定理，零点定理）。函数的单调性、奇偶性、周期性与有界性，建立简单应用问题的函数关系，反函数与隐函数的概念，参数方程所表示的函数，初等函数的概念，判别函数的间断点及其类型，基本初等函数的连续性及初等函数的连续性，利用积分和式求某些极限。

---

函数

注意点（易忽略）

一.常见的几种分段函数

1.绝对值函数

*2.符号函数

sgn函数图像

即 x>0,sgnx= 1

x=0,sgnx= 0

x<0,sgnx=-1

注：

1.y=abs(x) (x的绝对值）的导数近似是sgn(x) (在（0,0）处不可导）

2. x=abs(x) × sgn(x)或者abs(x)=(x) × sgn(x)

3.定义域为（-∞，+∞），值域为{-1，0,1}.

4.sgn是英文sign(标记)的缩写.

*3.取整函数

不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。

性质1对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

性质2对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).

性质3取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].

性质4若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.

性质5若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性质6若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].

性质7若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.

性质8设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为

p(n!)=[n/p]+[n/p2]+….

厄米特恒等式

4.狄利克雷函数

二.反函数

在同一坐标系中，y=f(x)与他的反函数x=f^(-1)(y)的图形是一致的，而y=f(x)与它的反函数y=f(-1)(x)的图形关于直线y=x对称

*三.关于奇偶性

1.奇*奇为偶函数

2.奇*偶为奇函数

3.偶*偶为偶函数

4.奇函数与奇函数复合为奇函数

5.偶函数与偶函数复合为偶函数

*6.奇函数与偶函数复合为偶函数

7.任一定义在对称于原点的数集X上的函数f(x)，必可分解成一奇一偶函数之和

f(x)=1/2(f(x)-f(-x))+1/2(f(x)+f(-x))

例题分析