向量及其运算

一、什么是向量

向量的表示: 以 为起点、 为终点的有向线段表示的向量记为 ， 有时也用一个黑体字母(书写时， 在字母上面加一箭头)来表示(见图1 )， 如 a 或。

图1

向量的模: 向量的大小(数学上指有向线段的长度)叫作向量的模，记作|a|，。
模为1的向量称为 单位向量，记作 e。
模为0的向量称为 零向量，记作 0。
零向量的方向可以看作是任意的。

二、向量的运算

1、夹角

向量 a、b 的始点重合， 在两向量的所在平面上， 若一个向量逆时针方向转过角度 θ后可与另一个向量正向重合(见图2)， 则称θ为向量a、 b的夹角， 记作(a， b)， 即
θ = () = () (0≤ θ ≤π)

图2

2、投影

如果向量的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A′、B′(见图3)， 则u轴上的有向线段A′B′的值A′B′称为向量AB在u轴上的投影， 记作 = A′B′，u轴称为投影轴。

图3

定理1
向量在 u 轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量 的夹角 θ 的余弦，即
cos θ

3、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

a 可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量a、a 和 a， 它们称为a在 x 轴、y 轴和 z 轴的三个分向量， 显然a = a + a + a(见图4)。

图4

若用 i、 j 和 k 分别表示与 x 轴、 y 轴和 z 轴正向一致的三个单位向量， 称它们为基本单位向量， 则有a =()i，a = ()j，a = ()k， 因此
a = a + a + a = ()i + ()j + ()k =&i + &j + &k， 称上式为向量 a 按基本单位向量的分解式或 a 的向量表示式。
将 、 、 称为向量a的坐标， 记为a = ( ， ， ) ， 也称为向量a的坐标表示式 。

三个分向量(a ， a ， a)
a = a + a + a
向量表示式
a = &i + &j + &k
坐标表示式
a = ( ， ， )

三、向量的模、 方向角

设 a 为任意一个非零向量， 又设为 a 与三坐标轴正向之间的夹角(0≤α， β， γ <π)， 如图5所示， 则分别为向量 a 的方向角。 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影， 故有
= |a|， = |a|， = |a|，
其中， 称为向量 a 的方向余弦， 通常用来表示向量的方向。
由模的定义， 可知向量 a 的模为
|a| = =
或
=
=
=
由此可得 即任一向量的方向余弦的平方和为 1。
单位向量

四、数量积

定义1 给定向量 a 与 b， 我们将 |a| 与 |b| 及它们的夹角θ的余弦的乘积，称为向量 a 与 b 的数量积， 记为a · b， 即
。

由定义 1 可以推出:

(1) ```````````` ()
(2)
(3) 若 ， ， 则。

数量积符合下列运算规律 ：

(1) 交换律：
(2) 分配律:
(3) (其中 λ 是数)

若 ， 则

= 0

五、向量积

定义2 若由向量 与 所确定的一个向量 满足下列条件(见图5):
(1) 的方向既垂直于 又垂直于 ， 的指向按右手规则从 转向 来确定;
(2) 的模 ，则称向量 为向量 与 的向量积(或称外积、 叉积)， 记为

图5
根据向量积的定义， 即可推得
(1)
(2) 设 为两非零向量， 则 的充分必要条件是

向量积满足下列运算规律

(1) 反交换律：
(2) 分配律：
(3) 结合律： (其中 λ 是实数)

注意 第二项为（-1）

由此可得:
若 ， 则

即
(亦即a=λb， λ为实数)

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