7,8 凸集的交，保凸运算

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-06-23 15:09 被阅读0次

若 $S_a$ 为凸集， $\forall a\in A$ 则 $\cap_{a\in A} S_a$ 为凸集
仿射函数 $f:\mathbb{R^n}\rightarrow \mathbb{R^m}$ 是仿射的，当 $f(x)=Ax+b,A\in\mathbb{R^{m\times n}},b\in \mathbb{R^m}$
若 $S\subset \mathbb{R^n}$ 为凸， $f:\mathbb{R^n\rightarrow\mathbb{R^m}}$ 仿射，则 $f(s)=\{f(x)|x\in S\}$ 为凸，缩放与位移式保持凸性的。
例：两个凸集的和是凸的
$S_1+S_2=\{x+y|x\in S_1,y\in S_2\}$
$S_1\times S_2=\{(x,y)|x\in S_1,y \in S_2 \}$
例：线性矩阵不等式 $A(x)=x_1A_1+\ldots+x_nA_n\preceq B,B,A_i,x_i\in S^m$
那么 $\{x|A(x)\preceq B\}$ 为凸
定义仿射变换 $f(x)=B-A(x)$
$S_+^n$ 为凸
$f^{-1}(S_+^n)=\{x|B-A(x)\succeq 0\}$
例：椭球是球的仿射映射
$\varepsilon=\{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\leq 1\},P \in S_{++}^n$
$f(u)=P^{\frac{1}{2}}u+x_c$
$\{u|\ ||u||_2\leq 1 \}$

透视函数

例：考虑 $\mathbb{R^{n+1}}$ 内线段， $x=(\overline{x},x_{n+1}),y=(\overline{y},y_{n+1})$
$\theta\geq 0$ 线段为 $\theta x +(1-\theta)y$
证明： $线段\stackrel{P}{\longrightarrow} 线段$
$x\stackrel{P}{\longrightarrow}P(x),y\stackrel{P}{\longrightarrow}P(y)$
$\theta x+(1-\theta)y\stackrel{P}{\longrightarrow}P(\theta x+(1-\theta)y)$
$P(\theta x+(1-\theta)y)=\frac{\theta \overline{x}+(1-\theta)\overline{y}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta)y_{n+1}}=\frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta)y_{n+1}}\frac{\overline{x}}{x_{n+1}}+\frac{\theta x_{n+1}}{\theta y_{n+1}+(1-\theta)y_{n+1}}\frac{\overline{y}}{y_{n+1}}$
例任意凸集的反透视映射仍是凸集
$P^{-1}(C)=\{(x,t)\in\mathbb{R^{n+1}}|\frac{x}{t}\in C,t>0 \}$
线性分数函数
$g:\mathbb{R^n}\rightarrow \mathbb{R^{n+1}}$ 为仿射映射
$g(x)=\left[ \begin{array}{c} A\\ C^T\\ \end{array} \right]\ x+ \left[ \begin{array}{c} b\\ d\\ \end{array} \right],A\in\mathbb{R^{m\times n}},b\in\mathbb{R^m},C\in \mathbb{R^n},d\in \mathbb{R}$
$P:\mathbb{R^{m+1}}\rightarrow\mathbb{R^m}$
$f:\mathbb{R^n}\rightarrow =P\circ g$ $凸\longrightarrow 凸$
$f(x)=\frac{Ax+b}{C^Tx+d},dom f=\{x|C^T x+d>0 \}$