【科普】量子计算通识-1

作者: zhyuzh3d | 来源:发表于2019-07-10 20:40 被阅读10次

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists（计算机科学家量子计算导读）》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第一部分。

经典位的矢量表示

经典(Classic)计算机是基于0和1进行计算的。

0和1也可以叫做真假(True/False)、开关(On/Off)、正反、阴阳...总之是两个相对的值，我们称之为布尔值（Boolean）。

0和1都是一维空间的标量，就是只有一条横坐标上的两个点。

0和1都是一维空间的标量

我们强行把这个一维坐标变为二维平面，那么0和1就有了新的表示法。

二维空间中0和1的分布

在上图中，我们以竖向作为值，那么(0,1)对应值为1，(1,0)对应值为0。
如果我们只考虑绝对高度，那么(-1,0)对应值0，(0,-1)对应值1。

用小括号的写法太复杂，我们可以简写为：

$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \Rightarrow |0> \Rightarrow 1 \qquad \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \Rightarrow |1> \Rightarrow 0$

即 |0> 等同(1,0)表示值1，|1>等同(0,1)表示值0。

另外一种记忆方法是，|0>表示二元数的第0位是1（第1位就是0了)，即(1,0);而|1>表示二元数的第1位是1（第0位就是0了),即(0,1)。

总之这里的右尖符号>表示这是个二维向量数。

矩阵乘法公式

对于第二个乘数只有一列的情况下，矩阵相乘其结果的第n项，等于第一个乘数的第n行的每个数字，乘以第二个乘数对应的数字，然后结果相加。如下：

$\begin{pmatrix}a_0,a_1\\b_0,b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}m_0\\m_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_0m_0+a_1m_1\\b_0m_0+b_1m_1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a_0,a_1,a_2\\b_0,b_1,b_2\\c_0,c_1,c_2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}m_0\\m_1\\m_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_0m_0+a_1m_1+a_2m_2\\b_0m_0+b_1m_1+b_2m_2 \\c_0m_0+c_1m_1+c_2m_2 \end{pmatrix}$

记忆方法，可以只看每一行，第一个矩阵每行用加号相连，如 $a_0,a_1,a_2$ 变为 $a_0+a_1+a_2$ ，然后再把第二个矩阵的每一项插到每个加数上，变为 $a_0m_0+a_1m_1+a_2m_2$ 。

如果第二个矩阵不止一列，就稍微麻烦些，公式如下：

$\begin{pmatrix}a_0,a_1\\b_0,b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}m_0,n_0\\m_1,n_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_0m_0+a_1m_1,a_0n_2+a_1n_1\\b_0m_0+b_1m_1, b_0n_0+b_1n_1\end{pmatrix}$

注意每行的规律，从 $(a_0,a_1)$ 变为 $(a_0+a_1,a_0+a_1)$ ，再变为 $(a_0m_0+a_1m_1,a_0n_0+a_1n_1)$ 。

单位矩阵

完全由0和1组成的矩阵，并且从左上角到右下角这条斜线上的数字都是1，比如下面三个都是单位矩阵：
$\begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1,0,0\\0,1,0\\0,0,1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,1,0\\0,0,0,1\end{pmatrix}$

为什么叫单位矩阵？对于标量来说，单位1乘以任何数都仍然是任何数。单位矩阵也具有这个性质，比如：

$\begin{pmatrix}1,0,0\\0,1,0\\0,0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\2\\8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1*7+0*2+0*8\\ 0*7+1*2+0*8\\0*7+0*2+1*8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\2\\8\end{pmatrix}$

第0行(1,0,0)其实就是只要(7,2,8)的第0项即7，在结果中02和08就是把2和8去掉。同样第1行(0,1,0)就是只要(7,2,8)中的第1项即2，去掉7和8；第2行(0,0,1)就是只要第2项的8。

语言表述就是，把第0项留下做第0项，第1项留下做第1项，第2项留下做第2项....所以等于没变。

这种情况对于多列矩阵同样有效：
$\begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6,3\\2,8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1*6+0*2,1*3+0*8\\0*6+1*2,0*3+1*8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6,3\\2,8\end{pmatrix}$

翻转矩阵

如果我们把最后一项留下做第0项，把倒数第二项留下做第1项，...以此类推，就能够把整个矩阵上下颠倒过来。

窍门就是不使用左上到右下都是1的单位矩阵，而是使用右上到左下都是1的新矩阵：

$\begin{pmatrix}0,0,1\\0,1,0\\1,0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\2\\8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0*7+0*2+1*8\\ 0*7+1*2+0*8\\1*7+0*2+0* 8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8\\2\\7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6,3\\2,8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0*6+1*2,0*3+1*8\\1*6+0*2,1*3+0*8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2,8\\6,3\end{pmatrix}$

我们还可以利用特殊的01矩阵来实现局部翻转（下例只翻转最后两个）：

$\begin{pmatrix}1,0,0\\ 0,0,1\\ 0,1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\2\\8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1*7+0*2+0*8\\ 0*7+0*2+1*8\\ 0*7+1*2+0*8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\ 8\\2 \end{pmatrix}$

对矩阵完全翻转的操作我们可以使用符号﹁表示：

$\begin{pmatrix}7\\2\\8\end{pmatrix}= ﹁\begin{pmatrix}8\\2\\7 \end{pmatrix}$

向量化（矩阵化）的布尔比特是量子计算的基础，后续文章我们将逐渐进入量子计算的实现方法和算法原理。

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