SVM算法简介

1 简介
转自http://www.cnblogs.com/jerrylead
支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候，老师要求交《统计学习理论》的报告，那时去网上下了一份入门教程，里面讲的很通俗，当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料，让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发，然后引出SVM什么的，还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发，引出了SVM，既揭示了模型间的联系，也让人觉得过渡更自然。
2 重新审视logistic回归
Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。
形式化表示就是
假设函数

clip_image001
其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。
clip_image002 的图像是
clip_image003
可以看到，将无穷映射到了(0,1)。
而假设函数就是特征属于y=1的概率。
clip_image004
当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求 clip_image006 ，若大于0.5就是y=1的类，反之属于y=0类。
再审视一下 clip_image006[1] ，发现 clip_image006[2] 只和 clip_image008 有关， clip_image008[1] >0，那么 clip_image010 ，g(z)只不过是用来映射，真实的类别决定权还在 clip_image008[2] 。还有当 clip_image012 时， clip_image006[3] =1，反之 clip_image006[4] =0。如果我们只从 clip_image008[3] 出发，希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征 clip_image012[1] ，而是y=0的特征 clip_image014 。Logistic回归就是要学习得到 clip_image016 ，使得正例的特征远大于0，负例的特征远小于0，强调在全部训练实例上达到这个目标。
图形化表示如下：
clip_image017
中间那条线是 clip_image019 ，logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的，然而C我们是不太确定的，B还算能够确定。这样我们可以得出结论，我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优。因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点，一个考虑局部（不关心已经确定远离的点），一个考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）。这是我的个人直观理解。
3 形式化表示
我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1，替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将 clip_image016[1] 替换成w和b。以前的 clip_image021 ，其中认为 clip_image023 。现在我们替换 clip_image025 为b，后面替换 clip_image027 为 clip_image029 （即 clip_image031 ）。这样，我们让 clip_image033 ，进一步 clip_image035 。也就是说除了y由y=0变为y=-1，只是标记不同外，与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数
clip_image037
上一节提到过我们只需考虑 clip_image008[4] 的正负问题，而不用关心g(z)，因此我们这里将g(z)做一个简化，将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下：
clip_image039
4 函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin）
给定一个训练样本 clip_image041 ，x是特征，y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下：
clip_image043
可想而知，当 clip_image045 时，在我们的g(z)定义中， clip_image047 ， clip_image049 的值实际上就是 clip_image051 。反之亦然。为了使函数间隔最大（更大的信心确定该例是正例还是反例），当 clip_image045[1] 时， clip_image053 应该是个大正数，反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。
继续考虑w和b，如果同时加大w和b，比如在 clip_image055 前面乘个系数比如2，那么所有点的函数间隔都会增大二倍，这个对求解问题来说不应该有影响，因为我们要求解的是 clip_image057 ，同时扩大w和b对结果是无影响的。这样，我们为了限制w和b，可能需要加入归一化条件，毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b，而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。
刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的，现在我们定义全局样本上的函数间隔
clip_image058
说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。
接下来定义几何间隔，先看图
clip_image059
假设我们有了B点所在的 clip_image057[1] 分割面。任何其他一点，比如A到该面的距离以 clip_image061 表示，假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是 clip_image063 （分割面的梯度），单位向量是 clip_image065 。A点是 clip_image041[1] ，所以B点是x= clip_image067 （利用初中的几何知识），带入 clip_image057[2] 得，
clip_image069
进一步得到
clip_image070
clip_image061[1] 实际上就是点到平面距离。
再换种更加优雅的写法：
clip_image071
当 clip_image073 时，不就是函数间隔吗？是的，前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢？因为函数间隔是我们定义的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样，同时扩大w和b，w扩大几倍， clip_image075 就扩大几倍，结果无影响。同样定义全局的几何间隔 clip_image076
5 最优间隔分类器（optimal margin classifier）
回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面，使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面，我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。形象的说，我们将上面的图看作是一张纸，我们要找一条折线，按照这条折线折叠后，离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为：
clip_image077
这里用 clip_image075[1] =1规约w，使得 clip_image079 是几何间隔。
到此，我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b，那么来一个特征x，我们就能够分类了，称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。
由于 clip_image081 不是凸函数，我们想先处理转化一下，考虑几何间隔和函数间隔的关系， clip_image083 ，我们改写一下上面的式子：
clip_image084
这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔，只不过此时的w不受 clip_image081[1] 的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数，没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响，但我们最后要求的仍然是w和b的确定值，不是他们的一组倍数值，因此，我们需要对 clip_image086 做一些限制，以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取 clip_image088 。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1，也即是将离超平面最近的点的距离定义为 clip_image090 。由于求 clip_image090[1] 的最大值相当于求 clip_image092 的最小值，因此改写后结果为：
clip_image093
这下好了，只有线性约束了，而且是个典型的二次规划问题（目标函数是自变量的二次函数）。代入优化软件可解。
到这里发现，这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图，画好分类超平面，在图上标示出间隔那么直观，但每一步推导有理有据，依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。
接下来介绍的是手工求解的方法了，一种更优的求解方法。