树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；

（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree），如下图所示：

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下图的子树T1和子树T2就是根结点A的子树。当然，D、G、H、I组成的树又是B为根结点的子树，E、J组成的树是以C为根结点的子树。

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注意：

1. n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根结点。
2. m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）。

• 度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；
• 度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
• 树的度是树内各结点的度的最大值

如下图所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度也为3。

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总结

结点分为：根节点、内部结点、叶结点，或终端结点

结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。嗯，为什么不是父或母，叫双亲呢？呵呵，对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。所以对于H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I，如下图所示。

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层

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树就在第l+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然下图中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I与J也是堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。

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有序树和无序树

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

对比线性表与树的结构，它们有很大的不同。

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树的抽象数据类型

ADT 树(tree)
Data
    树是由一个根结点和若干棵子树构成。树中结点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
    InitTree(*T):               构造空树T。
    DestroyTree(*T):            销毁树T。
    CreateTree(*T, definition): 按definition中给出树的定义来构造树。
    ClearTree(*T):              若树T存在，则将树T清为空树。
    TreeEmpty(T):               若T为空树，返回true，否则返回false。
    TreeDepth(T):               返回T的深度。
    Root(T):                    返回T的根结点。
    Value(T, cur_e):            cur_e是树T中一个结点，返回此结点的值。
    Assign(T, cur_e, value):    给树T的结点cur_e赋值为value。
    Parent(T, cur_e):           若cur_e是树T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空。
    LeftChild(T, cur_e):        若cur_e是树T的非叶结点，则返回它的最左孩子，否则返回空。
    RightSibling(T, cur_e):     若cur_e有右兄弟，否则返回空。
    InsertChild(*T, *p, i, c):  其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度加上1，
                                非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p指结点的第i棵子树。
    DeleteChild(*T, *p, i):     其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，
                                操作结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。
endADT

树的存储结构

双亲表示法

我们人可能因为种种原因，没有孩子，但无论是谁都不可能是从石头里蹦出来的，孙悟空显然不能算是人，所以是人一定会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。

我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构为下表所示。

data	parent

其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。

以下是我们的双亲表示法的结点结构定义代码。

/* 树的双亲表示法结点结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
/* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef int TElemType;              
/* 结点结构 */
typedef struct PTNode               
{
    /* 结点数据 */
    TElemType data;                 
    /* 双亲位置 */
    int parent;                     
} PTNode;
/* 树结构 */
typedef struct                      
{
    /* 结点数组 */
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    
    /* 根的位置和结点数 */
    int r, n;                       
} PTree;

有了这样的结构定义，我们就可以来实现双亲表示法了。由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1，这也就意味着，我们所有的结点都存有它双亲的位置。

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下标	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	1
4	E	2
5	F	2
6	G	3
7	H	3
8	I	3
9	J	4

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。

这真是麻烦，能不能改进一下呢？

当然可以。我们增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1，

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对于有0个或1个孩子结点来说，这样的结构是解决了要找结点孩子的问题了。甚至是有2个孩子，知道了长子是谁，另一个当然就是次子了。

另外一个问题场景，我们很关注各兄弟之间的关系，双亲表示法无法体现这样的关系，那我们怎么办？嗯，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，也就是说，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。同样的，如果右兄弟不存在，则赋值为-1，

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但如果结点的孩子很多，超过了2个。我们又关注结点的双亲、又关注结点的孩子、还关注结点的兄弟，而且对时间遍历要求还比较高，那么我们还可以把此结构扩展为有双亲域、长子域、再有右兄弟域。存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。注意也不是越多越好，有需要时再设计相应的结构。就像再好听的音乐，不停反复听上千遍也会腻味，再好看的电影，一段时间反复看上百遍，也会无趣，你们说是吧？

孩子表示法

换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。

方案一

一种是指针域的个数就等于树的度，复习一下，树的度是树各个结点度的最大值。

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其中data是数据域。child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。

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这种方法对于树中各结点的度相差很大时，显然是很浪费空间的，因为有很多的结点，它的指针域都是空的。不过如果树的各结点度相差很小时，那就意味着开辟的空间被充分利用了，这时存储结构的缺点反而变成了优点。

既然很多指针域都可能为空，为什么不按需分配空间呢。于是我们有了第二种方案。

方案二

第二种方案每个结点指针域的个数等于该结点的度，我们专门取一个位置来存储结点指针域的个数，

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其中data为数据域，degree为度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数，child1到childd为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。

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这种方法克服了浪费空间的缺点，对空间利用率是很高了，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。

能否有更好的方法，既可以减少空指针的浪费又能使结点结构相同。

仔细观察，我们为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但每个结点的孩子有多少是不确定的，所以我们再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系。

这就是我们要讲的孩子表示法。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，

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为此，设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，

child	next

其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。

另一个是表头数组的表头结点，

child	firstchild

其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

以下是我们的孩子表示法的结构定义代码。

/* 树的孩子表示法结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
/* 孩子结点 */
typedef struct CTNode              
{
    int child;
    struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
/* 表头结构 */
typedef struct                     
{
    TElemType data;
    ChildPtr firstchild;
} CTBox;
/* 树结构 */
typedef struct                     
{
    /* 结点数组 */
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];    
    /* 根的位置和结点数 */
    int r,n;                       
} CTree;

这样的结构对于我们要查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。

但是，这也存在着问题，我如何知道某个结点的双亲是谁呢？比较麻烦，需要整棵树遍历才行，难道就不可以把双亲表示法和孩子表示法综合一下吗？当然是可以。

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我们把这种方法称为双亲孩子表示法，应该算是孩子表示法的改进。

孩子兄弟表示法

刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度考虑又会如何呢？当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

结点结构如下

其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，right-sib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

结构定义代码如下

/* 树的孩子兄弟表示法结构定义 */
typedef struct CSNode
{
    TElemType data;
    struct CSNode *firstchild, 
                  *rightsib;
} CSNode, *CSTree;

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这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过fistchild找到此结点的长子，然后再通过长子结点的rightsib找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。当然，如果想找某个结点的双亲，这个表示法也是有缺陷的.