7、图像恢复

作者: 史记_d5da | 来源:发表于2023-07-28 14:30 被阅读0次

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1、退化及噪声

2.1、图像退化

图像退化是指由场景得到的图像没能完全地反映场景的真实内容，产生了失真等问题。

2.2、噪声

图像中的噪声可以定义为图像中不希望有的部分，或者图像中不需要的部分。
几种常见的噪声：

1、热噪声：热噪声与物体的绝对温度有关，也称为oJhnson噪声。
2、闪烁噪声：闪烁噪声也是由电流运动导致的噪声。
3、发射噪声：发射噪声也是电流非均匀流动，或者说电子运动有随机性的结果。
4、有色噪声：有色噪声指具有非白色频谱的宽带噪声。

2.3、二值随机散射图案

如果有一个在区域A中包含N个点的随机散射图案，此时点的平均密度是：
$\mu = N/A \quad \quad \mu为密度$
如果n的计数满足参数为 $\lambda$ 的泊松分布，那么一个子区域包含整n个点的概率 $p(n)$ 为：
$p(n)=\frac{\lambda}{n!}e^{-\lambda}$
参数为 $\lambda$ 的泊松分布代表接近于 $\mu$ 的分布密度，对大n有：
$p(n)\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}exp[\frac{-(n- \lambda)^2}{2\lambda}]$
这是一个正太分布，其中均值为 $\lambda$ ，而标准方差为 $\sigma={\lambda}^{1/2}$

2.4、噪声概率密度函数

1、高斯噪声
一个高斯随机变量z的PDF可表示为：
$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp[-\frac{(z-\mu)^2}{2{\sigma}^2}]$
其中z代表灰度， $\mu$ 是z的均值， $\sigma$ 是z的标准差。
高斯噪声的典型例子如电子设备的噪声或传感器的噪声
2、均匀噪声
均匀噪声的PDF可表示为
$p(z)=\begin{cases} 1/(b-a) \quad \quad 如果 a\le z\le b \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad 其他\\ \end{cases}$
均匀噪声的均值和方差分别是：
$\mu = (a+b)/2$
${\sigma }^2= (b-a)^2/12$
均匀噪声常作为许多随机数发生器的基础，例如可以用它来产生随机噪声。
3、脉冲（椒盐）噪声
脉冲噪声的PDF可表示为：
$p(z)=\begin{cases} P_a \quad \quad 如果z=a \\ P_b \quad \quad 如果z=b \\ 0 \quad \quad 其他 \end{cases}$
噪声脉冲可以是正的或者是负的。因为脉冲的影响常比图像中信号的强度要大，脉冲噪声一般量化成图像中的极限灰度。实际中，一般假设a和b都是饱和值，即他们取图像所允许的最大灰度和最小灰度。如果b>a，灰度b在图像中显示未白点，而灰度a在图像中显示黑点。如果 $P_a$ 或 $P_b$ 为0，脉冲噪声称为单极性的(unipolar)。如果 $P_a$ 和 $P_b$ 均不为0，特别是两者大小很接近的时候，脉冲噪声就像椒盐粒随机撒在图像上。因为这个原因，双极性的脉冲噪声也称为椒盐噪声。在图像显示为，负脉冲显示未黑色（椒）而正脉冲显示未白色（盐）。

以上三种噪声

2、退化模型和对角化

2.1、退化模型

图像复原的一般那过程：分析退化原因——建立退化模型——反映推演——恢复图像。
退化模型：

退化模型
复原模型：

复原模型
1、线性移动退化
线性运动退化是由于目标与成像系统间的相对匀速直线运动造成的退化。水平方向的均匀移动退化可以用一下的退化函数来描述：

h(m,n)=\begin{cases} \frac{1}{d} \quad 若0\le m \le d and n=0 \\ 0 \quad 其他 \end{cases}

其中，d是退化函数的长度。实际情况中，如果线性运动的方向不是水平方向运动，可以类似求解。
2、高斯退化
高斯退化函数是许多光学测量系统和成像系统最常见的退化函数模型。对于这些系统，点扩散函数的影响因素比较多。众多因素的综合使点扩散函数趋向于高斯型退化函数分布。高斯退化函数的数学表达式：

h(m,n)=\begin{cases} Kexp[- \alpha(m^2+n^2)] \qquad 若(m,n)\in C \\ 0 \qquad 其他 \end{cases}

其中，K为归一化常数，a为一个正常数，C为h(m,n)的圆形支持域。由高斯函数可知，高斯退化函数二维表达式可以分解为两个一维高斯退化函数的乘积。
3、散焦退化
在摄影中，镜头散焦时，光学系统造成图像退化相应的点扩散函数是一个均匀分布的圆形光斑。此时，散焦退化的函数表达式为

h(m,n)=\begin{cases} \frac{1}{\pi R^2} \qquad 若m^2 + n^2 = R^2 \\ 0 \qquad 其他 \end{cases}

其中，R是散焦半径。在信噪比比较高的情况下，在频域上可以观察到圆形的轨迹。

2.2、轮换矩阵对角化

如果一个矩阵是一个上三角、下三角或者对角矩阵，这个可以对问题处理进行简化。

3、关于恢复的讨论

3.1、有误差恢复

设在XY平面上的区域R中有一个 $2-D$ 目标 $f(x,y)$ ，它被一个已知扩散函数为 $d(x,y)$ 的设备所成像，所得到的可能模糊的图像 $g(x,y)$ ，实际中还会有一些不可避免的噪声误差 $n(x,y)$ 最终采集的图像可表示为先卷积后加噪声的结果
$m(x,y)=g(x,y)+n(x,y)=d(x,y)\otimes f(x,y)+n(x,y)$
现有恢复滤波器 $h(x)$ ，应能最优地从测量中估计 $f(x)$ 。称这个估计为 $f_{est}(x)$
$e(x)=f_{est}(x)-f(x)$
$f_{est}(x)=h(x)\otimes [d(x,y)\otimes f(x,y)+n(x,y)]$
其中最优恢复滤波器应能最小化
$\int_{-\infty}^{\infty}|e(x)|^2dx$ 根据瑞利定理等价于 $I=\int_{-\infty}^{\infty}|E(s)|^2dx$ ，其中 $E(x)$ 是 $e(x)$ 的傅里叶变换
对误差估计的傅里叶变换可以写为
$E(s)=H(s)[D(s)F(s)+N(s)]-F(s)$

3.2、加性噪声信号

未知的噪声信号 $n(x)$ ，它应具有一定的统计元素，如果它是确定性的，那只需要从测量中减去它就可以了，在恢复时不需要考虑它。如果 $n(x)$ 是由两部分组成，一部分是统计的，另一部分是确定的，那么可以先减去第二部分在进行恢复

3.3、无约束恢复

无约束恢复方法是将图像看作一个数字矩阵，没有考虑恢复后图像应受到的物理约束，主要从数学角度进行处理。
无约束恢复方法：逆滤波方法

3.4、有无约束恢复

有约束恢复方法还考虑到恢复后的图像应受到一定的物理约束，如在空间上比较平滑、图像灰度值总为正等。
有约束恢复方法：维纳滤波方法

3.5、交互式恢复

前面都是自动解析的恢复方法。在实际恢复工作中有时也需要人机结合。如果事先不知道周期噪声的频率，可以将退化图像的频谱图显示出来。由于单频率的噪声会在频谱幅度图上产生两个离开坐标原点较远的亮点，这样很容易依靠视觉观察在频率域交互地确定出脉冲分量的位置并在该位置利用带阻滤波器消除它们。这种人机交互能提高图像恢复的灵活性和效率。

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