拓扑排序和关键路径的求值都是对图的应用，严格来说其实是对有向图应用。
我们先来描述一下拓扑排序，拓扑排序就是根据路径的先后顺序，求出路径。这个路径有多种顺序。
拓扑排序简介
设G = (V,E)是一个具有n个顶点的有向图, V中的顶点序列V1,V2,.....,Vn.若满足从顶点Vi
到Vj有一条路径,则在顶点序列Vi 必须在Vj 之前, 则我们称这样的顶点序列成为拓扑序列
所谓拓扑排序,其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程. 构造过程拓扑序列会产生2个结果:
如果此网中的全部顶点被输出,则说明它不存在环(回路)的AOV网;
如果输出的顶点数少了,哪怕仅少了一个,也说明这个网存在环(回路),不是AOV网
比如说：当你要制作一个东西时，你需要先制作这个东西的小零件，再去做这个东西，因此，根据有向图的指向，选择没有指向该节点的节点为起点，向它指向的节点，依次排序。
15892513215693.png
例如上面这张图：
你需要将v0，v1，v3三个节点先进行排序，在对其他节点进行排序。
AOV网的定义
有一个表示工程的有向图中, 用顶点表示活动, 用弧表示活动之间的优先关系,这样 有向图为顶点表示活动的网. 我们称为AOV网(Activity On Vertex Network).
AOV图的存储问题
下标 in data firstedge adjves next adjves next. adjves next
0 0 v0 11 5 5 4 4 ^
1 0 v1 8 4 4 2 2 ^
2 2 v2 9 6 6 5 5 ^
3 0 v3 13 2 2 ^
4 2 v4 7 ^
5 3 v5 12 8 8 ^
6 1 v6 5 ^
7 2 v7
8 2 v8 7 ^
9 2 v9 11 10 10 ^
10 1 v10 13 ^
11 2 v11
12 1 v12 9 ^
13 2 v13
上面的一些数据，就是利用邻接表的思想去存储AOV图，利用栈将in的值为0的入栈，将与之相连的节点的in减1，若in为0，继续将顶点入栈，依次类推
代码
下面的代码利用连接矩阵转换邻接表，在进行拓扑排序，根据我上面写的一个数据表，可以很好的理解图的结构。
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 14
#define INFINITYC 65535
//邻接矩阵结构
typedef struct {
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes,numEdges;
}MGraph;
//邻接表结构
//边表节点
typedef struct EdgeNode{
//邻接节域
int adjvex;
//用于存储权值，对于非网图可以不需要
int weight;
//链域，指向下一个邻接点
struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;
//顶点表节点
typedef struct VertexNode{
//顶点入度
int in;
//顶点域，存储顶点信息
int data;
//边表头指针
EdgeNode *firstedge;
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];
//图的结构
typedef struct {
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,*GraphAdjList;
//1、构成AOV网图
void CreateMGraph(MGraph *G){
int i,j;
G->numVertexes = MAXVEX;
G->numEdges = MAXEDGE;
//初始化图
for (i = 0; i<G->numVertexes; i++) {
G->vexs[i] = i;
}
for (i = 0; i<G->numVertexes; i++) {
for (j = 0; j<G->numVertexes; j++) {
G->arc[i][j] = 0;
}
}
G->arc[0][4]=1;
G->arc[0][5]=1;
G->arc[0][11]=1;
G->arc[1][2]=1;
G->arc[1][4]=1;
G->arc[1][8]=1;
G->arc[2][5]=1;
G->arc[2][6]=1;
G->arc[2][9]=1;
G->arc[3][2]=1;
G->arc[3][13]=1;
G->arc[4][7]=1;
G->arc[5][8]=1;
G->arc[5][12]=1;
G->arc[6][5]=1;
G->arc[8][7]=1;
G->arc[9][10]=1;
G->arc[9][11]=1;
G->arc[10][13]=1;
G->arc[12][9]=1;
}
//将AOV网图借助邻接矩阵转换成邻接表
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *L){
int i,j;
EdgeNode *e;
//创建图
*L = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
//对图中的顶点数，弧数赋值
(*L)->numEdges = G.numEdges;
(*L)->numVertexes = G.numVertexes;
for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) {
(*L)->adjList[i].in = 0;
(*L)->adjList[i].data = G.vexs[i];
(*L)->adjList[i].firstedge = NULL;
}
//建立边表
for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) {
for (j = 0; j<G.numVertexes; j++) {
if(G.arc[i][j] == 1){
//创建空表节点
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
e->adjvex = j;
e->next = (*L)->adjList[i].firstedge;
(*L)->adjList[i].firstedge = e;
(*L)->adjList[j].in++;
}
}
}
}
//拓扑排序
int ToplogicalSort(GraphAdjList L){
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
//用于栈指针下标
int top = 0;
//用于统计输出顶点个数
int count = 0;
//建栈将入度为0的顶点入栈（目的：为了避免每次查找时，都要遍历顶点查找有没有入度为0的顶点）
int *stack = (int *)malloc(L->numVertexes * sizeof(int));
//遍历邻接表-顶点表，将入度in为0的顶点入栈
for(i = 0;i<L->numVertexes;i++)
if(L->adjList[i].in == 0)
stack[++top] = i;
printf("top = %d\n",top);
while (top!=0) {
//出栈
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ",L->adjList[gettop].data);
//输出顶点，并计数
count++;
//遍历与栈顶点相连的弧
for (e = L->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与gettop连接的顶点
k = e->adjvex;
//1、将与gettop连接的顶点入度减1
//2、判断如果当前减1后为0，则入栈
if(!(--L->adjList[k].in))
stack[++top] = k;
}
}
/*思考:3 -> 1 -> 2 -> 6 -> 0 -> 4 -> 5 -> 8 -> 7 -> 12 -> 9 -> 10 ->13 -> 11
这并不是唯一的拓扑排序结果.
分析算法:将入度为0的顶点入栈的时间复杂度为O(n), 而之后的while 循环,每个顶点进一次栈,并且出一次栈. 入度减1, 则共执行了e次. 那么整个算法的时间复杂度为O(n+e)*/
printf("\n");
//判断是否把所有的顶点都输出. 则表示找到了拓扑排序;
if(count < L->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("拓扑排序!\n");
MGraph G;
GraphAdjList L;
int result;
CreateMGraph(&G);
CreateALGraph(G, &L);
result = ToplogicalSort(L);
printf("result : %d\n",result);
return 0;
}
输出结果：
拓扑排序!
top = 3
3 -> 1 -> 2 -> 6 -> 0 -> 4 -> 5 -> 8 -> 7 -> 12 -> 9 -> 10 -> 13 -> 11 ->
result : 1
Program ended with exit code: 0
接下来我们来描述一下图的关键路径求解
求关键路径，其实就是有向图的弧带有权重值，根据到达的路径的权重值最大的，得到整个路径的值。
例如一个经典的问题，一个人早上起来，要洗脸刷牙，要煮饭，而煮饭的时间很长，做其他事的时间很短，若要使时间利用率高，你是不是会先将饭放在哪里煮，然后自己去做别的事，这个关键路径求解也是这样。
而关键路径问题还需要考虑先后问题，因此，可以很好的理解，做一件事之前，需要先做其他两件事，而这两件事可以同时一起做，只有两件事都做完了，才能做那件事情，因此，你花的最少时间，就是之前两件事中需要花的时间最多的。
AOE网的介绍
在一个表示工程的带权有向图中,用顶点表示事件,用有向边表示活动,用边上的权值表示活动 的持续时间,这种有向图的边表表示活动的网,我们称之为AOE 网(Activity On Edge Network)
没有入边的顶点称为始点或源点; 没有出边的顶点称为终点或汇点;
由于一个工程, 总有一个开始,一个结束.所以正常情况下,AOE网只有一个源点和一个汇点.
路径上各个活动所持续的时间之和称为路径⻓度
从源点到汇点具有最大的路径叫关键路径
在关键路径上的活动叫关键活动
关键路径求解的核心参数
事件最早发生的时间etv(earliest time of vertex): 即顶点Vk 的最早发生时间;
事件最晚发生时间ltv(latest time of vertex): 即顶点Vk 的最晚发生时间,也就
是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间,超出此时间将会延误整个工期;
活动的最早开工时间ete(earliest time of edge); 即弧Ak 的最早发生时间;
活动的最晚开工时间lte(latest time of edge); 即弧Ak 的最晚发生时间,也就
是不推迟工期的最晚开工时间.
AOE网的存储邻接表
15892532344021.png
求事件的最早发生时间etv 的过程,就是从头到尾去找拓扑序列的过 程. 所以在求解关键路径之前,我们需要调用一次拓扑排序的序列去计 算etv 和拓扑序列列表.
事件最晚发生时间 ltv (latest time of vertex): 即顶点Vk 的最晚发生时间,也就是每 个顶点对应的事件最晚需要开始的时间,超出此时间将会延误整个工期;
所以, 如果判断 ete 与 lte 是否相等,相等就意味着活动之间没有任 何空闲时间.是关键活动. 否则不是;
代码：
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 30
#define MAXVEX 30
#define INFINITYC 65535
//邻接矩阵结构
typedef struct {
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes,numEdges;
}MGraph;
//邻接表结构
//边表节点
typedef struct EdgeNode{
//邻接节域
int adjvex;
//用于存储权值，对于非网图可以不需要
int weight;
//链域，指向下一个邻接点
struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;
//顶点表节点
typedef struct VertexNode{
//顶点入度
int in;
//顶点域，存储顶点信息
int data;
//边表头指针
EdgeNode *firstedge;
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];
//图的结构
typedef struct {
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,*GraphAdjList;
//1、构成AOV网图
void CreateMGraph(MGraph *G){
int i,j;
G->numVertexes = 10;
G->numEdges = 13;
//初始化图
for (i = 0; i<G->numVertexes; i++) {
G->vexs[i] = i;
}
for (i = 0; i<G->numVertexes; i++) {
for (j = 0; j<G->numVertexes; j++) {
if(i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = INFINITYC;
}
}
G->arc[0][1]=3;
G->arc[0][2]=4;
G->arc[1][3]=5;
G->arc[1][4]=6;
G->arc[2][3]=8;
G->arc[2][5]=7;
G->arc[3][4]=3;
G->arc[4][6]=9;
G->arc[4][7]=4;
G->arc[5][7]=6;
G->arc[6][9]=2;
G->arc[7][8]=5;
G->arc[8][9]=3;
}
//将AOV网图借助邻接矩阵转换成邻接表
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *L){
int i,j;
EdgeNode *e;
//创建图
*L = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
//对图中的顶点数，弧数赋值
(*L)->numEdges = G.numEdges;
(*L)->numVertexes = G.numVertexes;
for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) {
(*L)->adjList[i].in = 0;
(*L)->adjList[i].data = G.vexs[i];
//将边表置为空表
(*L)->adjList[i].firstedge = NULL;
}
//建立边表
for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) {
for (j = 0; j<G.numVertexes; j++) {
if(G.arc[i][j] !=0 && G.arc[i][j] <INFINITYC){
//创建空表节点
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
e->adjvex = j;
e->weight = G.arc[i][j];
//将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e
e->next = (*L)->adjList[i].firstedge;
//将当前顶点的指针指向e
(*L)->adjList[i].firstedge = e;
(*L)->adjList[j].in++;
}
}
}
}
/*关于AOV网图的存储代码段*/
int *etv,*ltv;//事件最早发生时间和最迟发生时间数组，全局变量
int *stack2;//用于存储拓扑排序的栈
int top2;//用于stack2的指针
//拓扑排序
//拓扑排序
int ToplogicalSort(GraphAdjList L){
//若GL无回路,则输出拓扑排序序列且返回状态OK, 否则返回状态ERROR;
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
//用于栈指针下标
int top = 0;
//用于统计输出顶点个数
int count = 0;
//建栈将入度为0的顶点入栈（目的：为了避免每次查找时，都要遍历顶点查找有没有入度为0的顶点）
int *stack = (int *)malloc(L->numVertexes * sizeof(int));
//遍历邻接表-顶点表，将入度in为0的顶点入栈
for(i = 0;i<L->numVertexes;i++)
{
if(L->adjList[i].in == 0){
stack[++top] = i;
}
}
//stack2的栈指针下标
top2 = 0;
//初始化拓扑排序列栈
stack2 = (int *)malloc(L->numVertexes * sizeof(int));
//事件最早发生时间数组
etv = (int *)malloc(sizeof(L->numVertexes*sizeof(int)));
//初始化etv数组
for (i = 0; i<L->numVertexes; i++) {
etv[i] = 0;
}
while (top!=0) {
//出栈
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ",L->adjList[gettop].data);
//输出顶点，并计数
count++;
//将弹出的顶点序号压入拓扑排序的栈中;
stack2[++top2] = gettop;
//例如gettop为V0 ,那么与V0相连接的结点就有etv[1] = 3; etv[2] = 4;
//例如gettop为V1 ,那么与V1连接的结点就有etv[4]= 3+6=9; etv[3] = 8;
//例如gettop为V2 ,那么与V2连接的结点就有etv[5]= 4+7=11; etv[3] = 12;
//例如gettop为V3 ,那么与V3连接的结点就有etv[4]= 12+3=15;
//遍历与栈顶点相连的弧
for (e = L->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与gettop连接的顶点
k = e->adjvex;
//1、将与gettop连接的顶点入度减1
//2、判断如果当前减1后为0，则入栈
if(!(--L->adjList[k].in))
stack[++top] = k;
//求各顶点事件的最早发生的时间etv值
//printf("etv[gettop]+e->weight = %d\n",etv[gettop]+e->weight);
//printf("etv[%d] = %d\n",k,etv[k]);
if((etv[gettop]+e->weight)>etv[k]){
etv[k] = etv[gettop]+e->weight;
}
}
}
/*思考:3 -> 1 -> 2 -> 6 -> 0 -> 4 -> 5 -> 8 -> 7 -> 12 -> 9 -> 10 ->13 -> 11
这并不是唯一的拓扑排序结果.
分析算法:将入度为0的顶点入栈的时间复杂度为O(n), 而之后的while 循环,每个顶点进一次栈,并且出一次栈. 入度减1, 则共执行了e次. 那么整个算法的时间复杂度为O(n+e)*/
printf("\n");
//判断是否把所有的顶点都输出. 则表示找到了拓扑排序;
if(count < L->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
}
//求关键路径，L为有向网，则输出G的各项关键活动
void CriticalPath(GraphAdjList L){
EdgeNode *e;
int i,gettop,k,j;
//声明活动最早发生时间和最迟发生时间
int ete,lte;
//求得拓扑序列,计算etv数组以及stack2的值
ToplogicalSort(L);
//打印etv数组(事件最早发生时间)
printf("etv:\n");
for (i = 0; i<L->numVertexes; i++) {
printf("etv[%d] = %d\n",i,etv[i]);
}
printf("\n");
//事件最晚发生时间数组
ltv = (int *)malloc(sizeof(int)*L->numVertexes);
//初始化ltv数组
for(i = 0;i<L->numVertexes;i++){
//初始化ltv数组. 赋值etv最后一个事件的值
ltv[i] = etv[L->numVertexes-1];
}
//计算ltv(事件最晚发生时间) 出栈求ltv
while (top2!=0) {
//出栈(栈顶元素)
gettop = stack2[top2--];
//找到与栈顶元素连接的顶点；
for (e = L->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与gettop 相连接的顶点
k= e->adjvex;
//计算min(ltv[k]-e->weight,ltv[gettop])
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
//更新ltv 数组
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
//打印ltv 数组
printf("ltv:\n");
for (i = 0; i<L->numVertexes; i++) {
printf("ltv[%d] = %d \n",i,ltv[i]);
}
printf("\n");
//求解ete,lte 并且判断lte与ete 是否相等.相等则是关键活动;
//2层循环(遍历顶点表,边表)
for (j = 0; j<L->numVertexes; j++) {
for (e = L->adjList[j].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与j连接的顶点;
k = e->adjvex;
//ete 就是表示活动 <Vk, Vj> 的最早开工时间, 是针对这条弧来说的.而这条弧的弧尾顶点Vk 的事件发生了, 它才可以发生. 因此ete = etv[k];
ete = etv[j];
//lte 表示活动<Vk, Vj> 的最晚开工时间, 但此活动再晚也不能等Vj 事件发生才开始,而是必须在Vj 事件之前发生. 所以lte = ltv[j] - len<Vk, Vj>.
lte = ltv[k] - e->weight;
//如果ete == lte 则输出j,k以及权值;
if(ete == lte){
printf("<%d-%d> length:%d\n",L->adjList[j].data,L->adjList[k].data,e->weight);
}
}
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("关键路径求解!\n");
MGraph G;
GraphAdjList L;
CreateMGraph(&G);
CreateALGraph(G, &L);
CriticalPath(L);
return 0;
}
输出结果:
关键路径求解!
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 6 -> 5 -> 7 -> 8 -> 9 ->
etv:
etv[0] = 0
etv[1] = 3
etv[2] = 4
etv[3] = 12
etv[4] = 15
etv[5] = 11
etv[6] = 24
etv[7] = 19
etv[8] = 24
etv[9] = 27
ltv:
ltv[0] = 0
ltv[1] = 7
ltv[2] = 4
ltv[3] = 12
ltv[4] = 15
ltv[5] = 13
ltv[6] = 25
ltv[7] = 19
ltv[8] = 24
ltv[9] = 27
<0-2> length:4
<2-3> length:8
<3-4> length:3
<4-7> length:4
<7-8> length:5
<8-9> length:3
Program ended with exit code: 0
拓扑排序的时间复杂度: O(n+e);
初始化ltv时间复杂度:O(n);
计算ltv的时间复杂度:O(n+e);
计算ete/lte时间复杂度: O(n+e);
所以最终求得关键路径的时间复杂度为: O(n+e)
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