深度学习数学基础一--最小二乘法

之前总是先上手一些比较高级的神经网络算法，CNN，RNN等。可是总觉得有些知识原理总是羁绊着我进一步理解。这才意识到基础的重要性。所以，就一点一点的从基础数学最小二乘法开始。这里用到的就是咱们小学或初中学到的知识。我们也都知道深度学习就是矩阵的各种计算。所以这里我们将那些知识和大学的线性代数进行简单结合。

我们先了解向量之间的投影

IMG_20170814_202945.jpg
比如这张图
已知：这是2维空间，A[3, 1], B[1, 3], 求B到A最短距离的点(也就是B到A的投影P的向量)。
我们可以先用A来表示P：P = Ax = [3, 1].T * x (x 是 A的线性组合的系数，是个变量，就是我们要求的实数)
若使BP距离最短，则使||P - B||^2最小就行，即 使||Ax - B||^2最小。
化解：
||Ax - B||^2 = (Ax)^2 - 2AB*x + B^2
对之求导并使之等于0，求最小值x
得：
2A^2x - 2AB = 0
即
A^2x = AB
因为这是矩阵运算，左成A^2的逆
则写成x = (A²⁾(-1) * AB
则P = A * x = A * (A²⁾(-1) * AB

代码实现

注意区别点乘和叉乘

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

A = np.array([[3], [1]])
B = np.array([[1], [3]])
P = A * np.linalg.inv(A.T.dot(A)) * (A.T.dot(B))

# print(P)
plt.plot(A[0], A[1], 'k-o')
plt.plot(B[0], B[1], 'r-o')
plt.plot(P[0], P[1], 'r-o')
plt.plot([B[0], P[0]], [B[1], P[1]], 'y-o')
plt.plot([0, A[0]], [0, A[1]], 'k-')
plt.ylim(0, 3)
plt.xlim(0, 3.5)


plt.text(A[0]+0.1, A[1], 'A')
plt.text(B[0], B[1]-0.1, 'B')
plt.text(P[0]+0.1, P[1]+0.1, 'P')

plt.show()

F44F3FD6-961B-41ED-A73B-BCAEF816EBE2.png

给定一堆点，求一条线来拟合这些点

这里我们用到两点的距离，比如上例子B向量到P向量的距离就是|B-P|
比如有n个点(X1, Y1), ..., (Xn, Yn)
我们选取特征函数 y = ax^2 + bx + c
(
特征函数的选取可以任意函数，根据经验选取特征函数，比如也可以是y = ax^2 + bx + csinx+ de^2 + f等
)
那我们就有以下矩阵表示：

1502725546795.jpg

代码实现：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = 2.3*x*x + 3.5*x + 0.04

y_ = y + np.random.rand(len(x)) - 0.5

A = []
times = 2
for i in range(times+1):
    A.append(x**(times-i))
    
A = np.array(A).T
B = y_.reshape(y_.shape[0], 1)

w = np.linalg.inv(A.T.dot(A)).dot(A.T).dot(B)

pred_y = A.dot(w)
print(w)

plt.scatter(x, y_)
plt.plot(x, y, 'k-')
plt.plot(x, pred_y, 'r-')
plt.show()

结果系数输出：

[[ 2.28283947]
 [ 3.46918764]
 [ 0.05473155]]

5.png

黑线为理想曲线，红色为拟合曲线。
这样看，效果还是可以的。

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