2017-12-18

2．有理数的几何解释

    在一条直线即＂数轴＂上，我们标出从0到1的线段，(图略)确定从0到1为单位长线段，于是正整数和负整数表示为数轴上一组等距离的点，正数在0的右边，负数在0的左边。为了表示分母为n的分数，(n属于N)如果我们把每一个单位长线段都分为n等份，则毎个分点表示为这样一个数p＝k’＋k/n＝(nK’＋K)/n，（其中k’＝0，1，2，⋯，n－1；K＝1，2，⋯，n)，显然(nk’＋k)和n都是整数，形如“b/a”，所以任何一个有理数都能用数轴上的点表示，我们称其为“有理点”。如“5/16”就是把0到1单位长分成16等份取5份，即取k’＝0，k＝5，n＝16；“3/2”就是把1到2单位长2等分取1，即k’＝1，K＝1，n＝2；

    对于数轴上的任意有理点A，B，(A不等于B)从原点到A的距离取正数，称为A的绝对值，用符号丨A丨来表示，如果A＝＞0，则丨A丨＝A；如果A＜0，则丨A丨＝－A，显然A，B同号，丨A＋B丨＝丨A丨＋丨B丨；A，B异号，丨A＋B丨＜丨A丨＋丨B丨，所以对于仼意的A、B，总有丨A＋B丨＜＝丨A丨＋丨B丨

    在有理数系中，有一个重要的基本事实可以表述如下：有理点在数轴上是稠密的，意思是说，在每一个不论是多么小的区间中都存在着有理点。这是因为，对于任意的有理点A、B构成的区间［A、B］，无论它多么小，我们都可以取一个足够大的n，使区间［0、1/n］小于区间［A、B］，这时分数m/n中至少有一个落在区间［A、B］内，因此可得知，任何一个区间中必须有无穷多个有理点，不然任何两个相邻的有理点之间的区间内将不存在有理点，这就会出现矛盾。从有理数的几何解释，我们可以看出来，有理数b/a可以看成是用长度为a的线段去度量长度为b的线段，如果b恰好是a的整倍数，则存在一个整数r，使得b＝ra，如果b不是a的整倍数，这时我们把a分为n等份，每一个长度为a/n，使得线段a/n的某个整数m倍等于b，即b＝m·a/n＝m/n·a，即b/a＝m/n，我们说两条线段a和b是可公度的，反过来来说，任何一个有理数在数轴上都是可公度的，如果我们选a为单位线段，则与单位线段可公度的线段将对应于数轴上的全体有理点m/n，就度量的所有实际目的来说，有理数完全足够了，即使从理论上看，由于全体有理点稠密地布满整个直线，似乎直线上所有的点都是有理点，如果这是真的，则任何一线段将和单位长线段可通约，但是情况决不是这么简单，这是早期希腊数学(毕达哥拉斯学派)最惊人的发现之一，存在“不可公度线段”，这一问题将在实数系中讨论。