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离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

作者: echo_ye4 | 来源:发表于2020-01-15 17:16 被阅读0次

    回顾离散时间周期信号傅里叶级数

    {\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}

    离散时间非周期信号傅里叶变换

    考虑某一序列x[n]具有有限持续期,即在-N_1 \leq n \leq N_2以外x[n]=0。这个非周期信号可以构成一个周期信号\tilde x[n]x[n]是它的一个周期。
    \tilde x[n] = \sum_{k=<N>} a_k e^{jk(2\pi / N)n}
    a_k = \frac 1N \sum_{n = <N>} \tilde x[n]e^{-jk(2\pi/N)n} = \frac 1N \sum_{n=\infty} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}
    定义X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}
    其中a_k = \frac 1N X(e^{jkw_0})
    \tilde x[n] = \sum_{k=<N>} \frac 1N X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n} = \frac 1{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0
    N->\infty\tilde x[n]-> x[n]w_0->0
    x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw
    {\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}

    例子

    • 考虑信号x[n] = a^nu[n], |a|<1的傅里叶变换
      X(e^{jw}) = \sum_0^{\infty} (ae^{-jw})^n=\frac 1{1-ae^{-jw}}

      image.png
    • 考虑方波信号x[n] = \left\{ \begin{array}\ 1 && |n| \leq N_1\\ 0 && other\\ \end{array} \right.的傅里叶变换
      X(e^{jw}) = \sum_{n=-N_1}^{N_1}e^{-jwn} = \frac{sinw(N_1+1/2)}{w/2}

      image.png

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