Fourier transform总结

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总的分类

根据变量的连续与否，F.T.总共有三种。

• 完全离散

  $\sum_l e^{-i\frac{2\pi}{N}k'l} e^{i\frac{2\pi}{N}kl}=N\delta_{kk'}$

• 部分离散

  $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ik'x} e^{ikx} \mathrm{d}x = L \delta_{kk'}$

• 完全连续

  $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} e^{ik'x} \mathrm{d}x = 2\pi \delta (x-x')$

部分离散

动量本征函数

$\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \psi = p \psi \Longrightarrow \psi = e^{i\frac{p}{\hbar}x}$

归一化

$\langle e^{ikx} \mid e^{ikx'} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} e^{ikx'} \mathrm{d}k = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x'-x)} \mathrm{d}k = 2\pi \delta(x-x')$

周期为$L$

$f(x)$是周期函数

$f(x+L) = f(x)$

将$x$从$2\pi$拉伸到$L$

$x \rightarrow x \cdot \frac{2\pi}{L}$

相应归一化到$2L$

$\langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid e^{ikx' \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} e^{ikx' \cdot \frac{2\pi}{L}} \mathrm{d}k = L \delta(x-x')$

Fourier展开系数由下式求得

$f(x)= \frac{1}{L} \sum_k \mid e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle \langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid f(x) \rangle = \sum_k e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} C_k $

$C_n = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx \cdot \frac{2\pi}{x}} \mathrm{d}x$

完全连续

当周期$L \rightarrow \infty​$时，$\frac{2\pi}{L} \rightarrow 0​$，指数上的$k\frac{2\pi}{L}​$由原来离散的取值$\frac{2\pi}{L}, 2\frac{2\pi}{L}, 3\frac{2\pi}{L}, \cdots​$变成连续的变量，记为新的$k​$，且$\mathrm{d}k = \frac{2\pi}{L}​$。

则Fourier展开变为

$f(x)= \lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi} \frac{2\pi}{L} \sum_k \mid e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle \langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid f(x) \rangle = \int {-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \frac{1}{2\pi} \mid e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle \langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid f(x) \rangle = \frac{1}{2\pi} \int{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x' e^{ikx} \cdot e^{-ikx’} f(x‘)$

也就是

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x' e^{ik(x-x')} f(x')$

完全离散

类似群论中的不可约表示。

$\sum_l e^{-i\frac{2\pi}{N}k'l} e^{i\frac{2\pi}{N}kl}=N\delta_{kk'}$