高斯牛顿法估计未知参数

最小二乘法是估计带有噪声模型中未知参量的一种常用的方法，下面我将详细说明一下最小二乘法问题及其解法。

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1.最小二乘法的引入

已知我们有一个模型f(x,θ)，θ是有m个未知参数的向量向量，x向量中的n个值都有对应的观察值，（n>=m）如图1所示：

图1.最小二乘法需要拟合的模型

我们通过最小化观察值与模型之间误差的平方来拟合模型，即求解未知参量，如图2所示。通常，由于噪声的存在或者模型过于简单，观察值不能精确地拟合模型，导致观察值与模型之间的最小误差（残差residual）不等于零。

图2.最小化观察值与模型的误差平方和
令其偏导数等于零来求解未知参数，如图3所示：
图3.零偏导数为零求得最小误差对应的未知参数

2.高斯牛顿法求解非线性最小二乘问题

虽然上面我们给出了未知参数求解的直接办法，但是，我们经常遇到的问题中，残差和θ是相互独立的，因此求解θ是一个非线性最小二乘问题。为了将其线性化，使得残差与θ成线性关系，我们对残差进行泰勒展开（Taylor expansion），如图4所示：

图4.残差泰勒展开线性化

由于泰勒展开只是对残差的近似，因此我们需要一个迭代过程，每一次迭代都计算一个Δθ，增量式地加到原来的θ上去。下一次迭代再在上一次求解的基础上进行线性化。迭代过程如图5所示：

图5.高斯牛顿法迭代过程
对线性化的残差平方和求θk+1处的偏导数，并令其为零，求得该次迭代中的Δθ，如图6所示：
图6.求偏导数后的结果

这里的jacobian矩阵维度为nxm，在jacobian矩阵与其转置的乘积称为Hessian矩阵，是一个近似的二阶偏导数。以上这种迭代式估计未知参数的方法称之为高斯牛顿法（Gauss-Newton）。

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