浮点数的表示

作者: 达微 | 来源:发表于2021-10-20 07:40 被阅读0次

PHP浮点数精度问题
1.2 浮点型运算
数据类型操作（其他）
格式化输出
计算机组成与体系结构知识点一
第一张出题 1
Python基础知识点拾遗
一.计算机系统构成及硬件基础知识--浮点数的表示
浮点数的表示
浮点数的表示

语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型(float)和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

·符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负

·指数位(Exponent):用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储

·尾数部分(Mantissa)：尾数部分

其中float的存储方式如下图所示：

4b06d956e5632640815c9b6e367707cf.png

而双精度的存储方式为:

453886849cad01b1b267ba91486d0d2c.png

R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25* ,而120.5可以表示为:1.205* ,这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.00012^3 ,1110110.1可以表示为1.11011012^6 ,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*

,尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了，所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

小数点右移指数为正，小数点左移指数为负数

首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*

2^3

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

824c87887e643358303481c357adffb6.png

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

677e3f0013b9e53e2889678b5d31e942.png

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

c3cf47dd34b7ca85a60922544aa94d1f.png

根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.1101101*2^6

=120.5

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

ae6994bed228d3888c87fb49899195a6.png

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果

        float f = 2.2f;

        double d = (double)f;

        Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

        f = 2.25f;

        d = (double)f;

        Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为0,0.82=1.6,第三位为1，0.6×2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为：

088518dcf1731d435a20dbcfd8d1869d.png

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

注：本文在写作过程中，参照了如下资料：

http://www.msdn.net/library/chs/default.asp?url=/library/CHS/vccore/html/_core_why_floating_point_numbers_may_lose_precision.asp

http://blog.csdn.net/ganxingming/archive/2006/12/19/1449526.aspx
https://blog.csdn.net/monokai/article/details/108153010

==================float 二进值表示===========================
32.35           1000010000000010110011001100110,
32移码 = 5+127  10000100
-32.35          11000010000000010110011001100110,
32移码 = 5+127  10000100
31.35           1000001111110101100110011001101,
31移码 = 4+127  10000011
16.35           1000001100000101100110011001101,
16移码 = 4+127  10000011
8.35            1000001000001011001100110011010,
8移码 = 3+127   10000010
4.35            1000000100010110011001100110011,
4移码 = 2+127   10000000
2.35            1000000000101100110011001100110,
2移码 = 1+127   10000000
1.35            111111101011001100110011001101,
1移码 = 0+127   1111111
0.35            111110101100110011001100110011,
0移码= -2+127    1111101
-0.35           10111110101100110011001100110011,
0移码= -2+127   1111101
==================double 二进值表示===========================
32.35            100000001000000001011001100110011001100110011001100110011001101,
32移码 = 5+1023  10000000100
-32.35           1100000001000000001011001100110011001100110011001100110011001101,
32移码 = 5+1023  10000000100
16.35            100000000110000010110011001100110011001100110011001100110011010,
16移码 = 4+1023  10000000011
8.35             100000000100000101100110011001100110011001100110011001100110011,
8移码 = 3+1023   10000000010
4.35             100000000010001011001100110011001100110011001100110011001100110,
4移码 = 2+1023   10000000001
2.35             100000000000010110011001100110011001100110011001100110011001101,
2移码 = 1+1023   10000000000
1.35             11111111110101100110011001100110011001100110011001100110011010,
1移码 = 0+1023   1111111111
0.35 = -2+1023  11111111010110011001100110011001100110011001100110011001100110,
0 移码           1111111101
-0.35 = -2+1023  1011111111010110011001100110011001100110011001100110011001100110,
0 移码           1111111101


public class FloatAndDoubleTest
{
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("==================float 二进值表示===========================");
        System.out.println(String.format(
                "32.35           %s,\n" +
                "32移码 = 5+127  %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(32.35f)),Integer.toBinaryString(5+127)));
        System.out.println(String.format(
                "-32.35          %s,\n" +
                "32移码 = 5+127  %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(-32.35f)),Integer.toBinaryString(5+127)));
        System.out.println(String.format(
                "31.35           %s,\n" +
                 "31移码 = 4+127  %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(31.35f)),Integer.toBinaryString(4+127)));
        System.out.println(String.format(
                "16.35           %s,\n" +
                "16移码 = 4+127  %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(16.35f)),Integer.toBinaryString(4+127)));
        System.out.println(String.format(
                "8.35            %s,\n" +
                "8移码 = 3+127   %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(8.35f)),Integer.toBinaryString(3+127)));
        System.out.println(String.format(
                "4.35            %s,\n" +
                "4移码 = 2+127   %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(4.35f)),Integer.toBinaryString(2+126)));
        System.out.println(String.format(
                "2.35            %s,\n" +
                "2移码 = 1+127   %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(2.35f)),Integer.toBinaryString(1+127)));
        System.out.println(String.format(
                "1.35            %s,\n" +
                "1移码 = 0+127   %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(1.35f)),Integer.toBinaryString(127)));
        System.out.println(String.format(
                "0.35            %s,\n" +
                "0移码= -2+127    %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(0.35f)),Integer.toBinaryString(125) ));
        System.out.println(String.format(
                "-0.35           %s,\n" +
                "0移码= -2+127   %s" ,Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(-0.35f)),Integer.toBinaryString(125)));

        System.out.println("==================double 二进值表示===========================");
        System.out.println(String.format(
                "32.35            %s,\n" +
                "32移码 = 5+1023  %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(32.35d)),Long.toBinaryString(5+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "-32.35           %s,\n" +
                "32移码 = 5+1023  %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(-32.35d)),Long.toBinaryString(5+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "16.35            %s,\n" +
                "16移码 = 4+1023  %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(16.35d)),Long.toBinaryString(4+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "8.35             %s,\n" +
                "8移码 = 3+1023   %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(8.35d)),Long.toBinaryString(3+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "4.35             %s,\n" +
                "4移码 = 2+1023   %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(4.35d)),Long.toBinaryString(2+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "2.35             %s,\n" +
                "2移码 = 1+1023   %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(2.35d)),Long.toBinaryString(1+1023)));
        System.out.println(String.format(
                "1.35             %s,\n" +
                "1移码 = 0+1023   %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(1.35d)),Long.toBinaryString(1023)));
        System.out.println(String.format(
                "0.35 = -2+1023  %s,\n" +
                "0 移码           %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(0.35d)),Long.toBinaryString(1021)));
        System.out.println(String.format(
                "-0.35 = -2+1023  %s,\n" +
                "0 移码           %s" ,Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(-0.35d)),Long.toBinaryString(1021)));


    }
}

32.35 = 1.xxxx *2^5