致敬Oleg之前在系里作报告时用的题目 If I only have a brane。
这个句子仅仅是读起来就让人浮想联翩。
这次是review Xi Dong 的新工作 Holographic Renyi Entropy at Large Energy Density。也是因为之前quantum error correction 的文章知道的Xi Dong，就也一直follow他的工作。Youtube上看过他在普林斯顿做的报告，很喜欢和佩服像他那样的有独立思考力的年轻物理学家。见贤思齐呀，虽然还远远不够。
这篇文章很短，而且思路很清晰。一句话总结是，他用了全息的方法算了分别算了正则分布和非正则分布的Renyi entropy, 然后发现，这两个结果很不一样，可以用来区分这个两中系综。
好像这个结果一点也不意外，本来就是不同系综，当然会有不同的熵。这样的显而易见 就让觉得很可疑。还有一点有意思的是，我终于看到了Renyi entropy的物理意义。还有纠缠熵的一些物理意义。这就消除了我一直以来的偏见，认为纠缠熵是一些没有用的物理量。
故事的开端就回到了我题目的问题：仅仅通过一个本征态，我们能对系统了解多少。这是一个量子系统的比较普遍的问题。答案有点出乎我的意料。
比如单单是基态，the ground state，我们不但能得到基态的信息，还能通过算纠缠熵得到有关激发态的信息！一个经典的例子就是，我们可以得到共形场论的central charge。处在基态的时候，系统的熵和系统的表面积成正比的。这也符合全息的理论。
对于另外的本征态，我们能得到信息更多，甚至能得到这个系统的信息！这种本征态在系统无限大的时候，也有有限的能量密度。对于这种态，有一个猜想：随着时间的演化，这个本征态会达到一种热平衡的状态。在这个态下的算符的平均值，都可以用一个某一温度下热平衡分布来计算。如果这个猜想对于所有的算符都成立，就说明，如果我们只看系统的一部分，我们是不能区分这个系统是处在本征态还是处在一个热平衡态的。再进一步就是说，如果只看系统的一部分我们是不能区分一个纯态和混态的。这就不得了了，因为在现实里，我么总是只能观察到系统的一部分，要是我们不能区分一个本征态和一个混合态，是不是就说，我们不需要量子力学了呢，所有的一切都是统计而已。
这就是Dong这篇文章的一个卖点了：虽然我们不同通过算符来区分这两种情况，但是Renyi entropy可以。必须是Renyi entropy，Von Neumann熵是不行的！
具体怎么算的呢？
当然可以考虑一个简单的共形场论，然后分别去计算Renyi entropy。Dong是用了全息的方法。一方面是因为Dong的上一个工作就是提出了Renyi entropy的引力描述，这次算一个应用吧。另一方面使用全息的方法计算的结果更加的一般，适用于一大类的量子场论。我觉得的有意思的地方就是这个Renyi entropy的引力描述。
一般在AdS/CFT里算纠缠熵的套路是，现在场论里面算Renyi entropy，然后取极限得到纠缠熵。纠缠熵的引力描述是一个测地面，类似于测地线，测地面就是确定了边界后的面积取极值的一个面。这个测地面的面积就对用了纠缠熵。
Dong 提出的Renyi entropy的引力描述也是类似一个测地面，但是不是真空引力的测地面，而是加了一些物质的后，被存在的物质弯曲的空间的测地面。不同的系综对应了不同的边界条件。
这样想要求Renyi entropy， 就要解满足不同边界条件的带有物质的引力方程。然后在计算面积。这是个很完备的数学问题，就是不那么容易罢了。Dong并没有直接解方程，而是找到了一个空间，这个空间满足所有的条件，因为解是唯一的，那么这个满足所有条件空间的解就是需要的解。这个空间也很好猜了其实如果考虑Renyi entropy的含义的话。
Renyi entropy的全息引力描述一个比较有用的是给了我们一个比较具体的图像，然后当我们进行一些近似计算的时候提供了一些线索。
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