最近正好处理一些稀疏数据，抽空看了下FM论文，Factorization Machines，因子分解机。在SVM之后，有各种优秀的推荐系统论文出现，FM是其中非常闪耀的一颗，基于FM的有台湾大学的FFM，华为诺亚方舟的DeepFM等。今天就来讲讲稀疏矩阵下发挥优秀的FM，有一些简单的论文推倒。
FM的特点很鲜明，优势有以下几种：
1、FM能够处理SVM无法胜任的工作，在非常稀疏的数据情况下，FM表现良好
2、FM复杂度为线性
3、FM对数据要求不严苛
首先让我们来看看这么一张图（从论文中抠出来的），这是典型的推荐系统方向的问题。
Fig 1
这是一个真实的交易数据，所有category类型的数据都做了one-hot处理，整个数据集非常稀疏。每行表示一次交易，同颜色的列表示同一个特征。例如，前三条数据中User特征只有A出现1，表示这几次交易都是A完成的。类似的，Movie代表购买的电影。
那么如何处理此类问题呢，FM给出答案。
模型公式
FM中目标结果由 W0:常数项， WiXi:一次项, <Vi, Vj>XiXj:二次项三部分组成，其中Vi是长度为f的向量，<Vi, Vj>是Vi与Vj的点乘。这是一个典型的2阶FM模型。FM的二阶项能够考虑到因子间的相互关系。例如，在图1中，用户B和用户C都购买过SW电影票，所以用户B和C与SW的应该相似，当然<Vb, Vsw>和<Vc, Vsw>应该也相似。另外，用户B购买SW，ST的目标结果相似（y分别为4，5），SW，ST也应该相似。同样，既然SW，ST两种电影类似，用户A购买SW，ST的概率也应该相似。我们可以看出来，通过Vi, Vj的结合，FM能够应用交叉特征去处理数据，在稀疏数据下表现的很好。
那么将二次项考虑进来，会增大计算复杂度吗？一般，我们认为二次项的计算复杂度应该是O(kn^2)，但是FM却可以优化到O(kn)复杂度。
我们考虑二次项
哇塞，这么复杂的公式怎么看得懂，我们一步步来，其实很简单。
第一步，拆解过程如图
拆解
第二步，向量点乘
第三步，将k求和提出来
第四步，左边i和j式子相同，可以认为两者相等，直接得出平方
到此，很明显，它的计算复杂度为O(kn)，左边求和之后平方，右边平方后求和，没有出现
接下来我们看看FM如何收敛，照常使用SGD，计算FM的梯度是：
求Xi的梯度，令Xj固定，则第三项左边求和是一个定值，与Xi无关。时间复杂度为O(kn)
FM也可以扩展到更高阶的形式
到这，我们可以推断，FM能够在O(kn)时间复杂度处理特征间关联问题。
那么，这和SVM相比有什么优势呢，SVM通过相应的核函数也能做到。还记得我们开头说的吗，相比SVM，FM能够胜任稀疏矩阵。
首先我们来看一下SVM如何处理特征间关联问题。SVM的公式是：
选用合适的核函数，这里我们设d=2， 例如
展开后公式可得
通过大量的数据训练，我们也能够得出对应的Weight。但是，如果特征i，和特征j没有同时出现呢。例如，从来没有一个人既买过啤酒，又买过烧鸭，那么你能认为某个人买完啤酒后不会再买烧鸭吗？这就是数据稀疏时候出现的问题，这时候Wi,j没有对应的x值训练。FM通过Vi * Vj来确定W，那么只要其他记录有Vi，和Vj，不用同时出现，就可以分别对其进行训练，最后通过点乘来确定值。这牺牲了Wi,j一点自由度，却能够很好的处理稀疏矩阵的问题。
在非常稀疏的数据下，FM表现非常优秀，而SVM始终无法收敛，导致误差太大。
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