星型线的面积计算

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-05-23 15:07 被阅读0次

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$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\;\;a>0$

今天有人问了星型线的问题
一般来说都是下面这个做法

先看图

astroid.png

Sol:
参数形式
$\begin{cases} x=a\cos^3\theta\\ y=a\sin^3\theta \end{cases}$
又由于对称性，于是有
$\begin{aligned} S=&4\int_0^ay\text{d}x\\ =&4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}(a\sin^3\theta)(a\cos^3\theta)'\text{d}\theta\\ =&4a^2\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin^3\theta\cdot3\cos\theta(-\sin\theta)\text{d}\theta\\ =&12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta\cos^2\theta\text{d}\theta\\ =&12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta-\sin^6\theta\text{d}\theta\\ =&\dfrac{3\pi a^2}{8} \end{aligned}$
最后一步用 Wallis公式，参见：Wallis公式

群友一定要用二重积分做

描述区域内的点
$\begin{cases} x=r\sin^3\theta\\ y=r\cos^3\theta \end{cases}$
换元，雅可比行列式：
$\begin{aligned} &\text{d}x\text{d}y\\ =& \begin{vmatrix} \sin^3\theta&3r\sin^2\theta\cos\theta\\ \cos^3\theta&3r\cos^2\theta(-\sin\theta)\\ \end{vmatrix}\text{d}r\text{d}\theta\\ =&3r(\sin^4\theta\cos^2\theta+\sin^2\theta\cos^4\theta)\text{d}r\text{d}\theta\\ =&3r\sin^2\theta\cos^2\theta\text{d}r\text{d}\theta \end{aligned}$

判断 r 的取值范围，因为是星型线围成的区域，因此区域内的点满足
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\;\;a>0$
带入参数方程可得
$0\leqslant r\leqslant a$

算出结果
$\begin{aligned} S=&4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{d}\theta\int_{0}^{a}3r\sin^2\theta\cos^2\theta\text{d}r\\ =&6a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta\text{d}\theta\\ =&6a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta-\sin^4\theta\text{d}\theta\\ =&6a^2\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\right)\\ =&\dfrac{3a^2\pi}{8} \end{aligned}$

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