DMFT(动力学平均场论)简介

作者: 多米尼克2049 | 来源:发表于2021-10-21 22:50 被阅读0次

动力学平均场论

Hubbard模型

动力学平均场论的发展是从Hubbard模型和Anderson模型开始的，所以首先介绍这两个模型。
普通的能带图像是基于单电子近似的，电子-电子之间的相互作用都被放到交换关联泛函里映射到无相互作用电子气里面了，这里面没有考虑d轨道、f轨道局域电子之间的相互作用。也就是说能带图像对电子-电子之间的库伦相互作用描述是不准确的。

这导致了能带图像对过渡金属化合物的描述往往是错误的，比如MnO晶体、高温超导母体化合物 $\rm{La_2CuO_4}$ 、 $\rm{ReO_3}$ 等。还有一些过渡金属氧化物在温度升高时会从绝缘体变成金属，这都是能带图像不能解释的。原因就是能带论忽略了窄带中的电子强关联效应。

Hubbard模型的假设出发点就是考虑 $N$ 个原子组成的简单晶体，设 $h(\pmb{r}_i)$ 为单电子在周期势场中的哈密顿量，那么多体的总哈密顿量为
$H = \sum_i{h(\pmb{r}_i)+\frac{1}{2} \sum_{i,j}v_{ij}}$

$v_{ij} = \frac{e^2}{|\pmb{r}_i - \pmb{r}_j|}$

简单起见这里只考虑孤立未填满的s带，那么它的二次量子化形式为
$H = \sum_{k,\sigma} E_k C^{\dagger}_{k \sigma}C_{k \sigma} + \frac{1}{2} \sum_{k_1,k_2,k_1^{\prime},k_2^{\prime}} \sum_{\sigma,\sigma^{\prime}}<k_1,k_2|v|k_1^{\prime},k_2^{\prime}> C^{\dagger}_{k_1 \sigma}C_{k_2 \sigma}^{\dagger} C_{k_1^{\prime} \sigma}C_{k_2^{\prime} \sigma}$
后面就是库仑相互作用的二次量子化形式，前面的系数是一个二重积分
$<k_1,k_2|v|k_1^{\prime},k_2^{\prime}> = e^2 \int \frac{\psi^*_{k_1}(\pmb{r}) \psi^*_{k_2}(\pmb{r}^{\prime})\psi_{k^{\prime}_1}(\pmb{r}) \psi_{k^{\prime}_2}(\pmb{r}^{\prime})}{|\pmb{r}-\pmb{r}^{\prime}|} d\pmb{r} d\pmb{r^{\prime}}$
因为这里是考虑局域的电子关联，所以转化到wannier表象里面更容易计算。
$\psi_{k}(\pmb{r}) = N^{-\frac{1}{2}}\sum_i{e^{i \pmb{r} \cdot \pmb{R}_i}a(\pmb{r} - \pmb{R}_i)}$
算符的变换关系就是一个傅里叶变换
$C^{\dagger}_{i\sigma} = N^{-\frac{1}{2}} \sum_k{e^{i \pmb{r} \cdot \pmb{R}_i}} C^{\dagger}_{k \sigma}$

$C_{i\sigma} = N^{-\frac{1}{2}} \sum_k{e^{i \pmb{r} \cdot \pmb{R}_i}} C_{k \sigma}$

上式变换到wannier表象就变成了
$H = \sum_{i,j} \sum_{\sigma} T_{ij} C^{\dagger}_{i \sigma} C_{j\sigma} + \frac{1}{2} \sum_{i,j,l,m} \sum_{\sigma, \sigma^{\prime}} <ij|v|lm> C^{\dagger}_{i \sigma} C^{\dagger}_{j\sigma^{\prime}} C_{m \sigma^{\prime}} C_{l\sigma}$
其中 $T_{ij} = N^{-1} \sum_{k} e^{i \pmb{k} \cdot (\pmb{R}_i - \pmb{R}_j)}E_k$

而库伦相互作用项在wannier表象中为
$<ij |v|lm> = e^2 \int \frac{a^*(\pmb{r}-\pmb{R}_i) a^*(\pmb{r}^{\prime}-\pmb{R}_i) a(\pmb{r}-\pmb{R}_l) a(\pmb{r}^{\prime}-\pmb{R}_m) }{|\pmb{r}-\pmb{r}^{\prime}|}$
Hubbard 认为对于窄带来说，这个积分的同一格点上的库仑排斥作用最大，不同格点之间的相互作用可以略去。那么上述哈密顿量的后一项也就变成了
$\frac{1}{2} U \sum_{i} \sum_{\sigma \sigma^{\prime}} C^{\dagger}_{i \sigma} C^{\dagger}_{i\sigma^{\prime}} C_{i \sigma} C_{i\sigma^{\prime}}$
由于泡利不相容原理，同一格点上只有相反自旋的电子能占据同一个轨道，这样 $\sigma^{\prime} = - \sigma$ ,哈密顿量变成
$H = \sum_{i,j} \sum_{\sigma} T_{ij} C^{\dagger}_{i \sigma} + \frac{U}{2} \sum_i \sum_{\sigma} n_{i \sigma} n_{i \overline{\sigma}}$