二叉堆（Binary Heap）

本文相关代码参见 Algorithms/BinaryHeap

定义

二叉堆本质上是一个数组表示的近似完全的二叉树。数组中的数与二叉树BFS层次遍历一一对应。

[站外图片上传中...(image-511b05-1514818541338)]

上图是截自CLRS的1-index数组和二叉树的对应关系。出于个人编程习惯我们以下都以数组0-index为例（1-index按照下标关系类推即可），根节点存储在数组0下标位置，父节点与对应的左右子节点的下标满足以下关系

//获取父节点下标
inline size_t parent(size_t i){
    return (i-1)>>1;
}
//获取左儿子下标
inline size_t left(size_t i){
    return (i<<1)+1;
}
//获取右儿子下标
inline size_t right(size_t i){
    return (i<<1)+2;
}

最大堆、最小堆

如果一个二叉堆满足，所有的子节点都不比父节点大，那么称为最大堆

相反，如果一个二叉堆所有子节点都不比父节点小，那么其为最小堆

建堆

问题：假设给你一个数组，怎样根据这个数组构建最大堆（最小堆），其时间复杂度为多少？

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引论：维护堆的性质——heapify
给一个数组 A 和下标 i 数组的 left(i) 子树和 right(i) 子树部分都满足最大（小）堆的性质，而 i、left(i) 和 right(i) 三者有可能不满足，怎样对数据进行操作使得 i 子树可以满足堆的性质？以最大堆为例：
我们只需要对三个数值进行比较，将最大值与根节点交换即可。注意交换后其子节点原有的堆性质可能遭到破坏，所以形成了一个相似的子问题，对子问题递归进行求解即可完成全部的堆维护。

void maxHeapify(vector<T> &v,size_t i){
    T tmp=v[i];
    size_t pos=i;
    //选择三个节点中最大的
    if(left(i)<v.size() &&v[left(i)]>v[pos]){
        pos=left(i);
    }
    if(right(i)<v.size() &&v[right(i)]>v[pos]){
        pos=right(i);
    }
    //进行交换并进行子问题递归求解
    if(pos!=i){
        v[i]=v[pos];
        v[pos]=tmp;
        maxHeapify(v,pos);
    }
}

最小堆同理可得，此处略去。
我们这里分析一下其复杂度，最差的情况下其子问题的大小是原问题的2/3,这发生在子问题树全满而对称位置子树响应高度全空的情形：

而每次找出最小值并进行交换所花费时间为常量O(1),故我们有：

由分治问题Master公式（这个我们单独拿一篇blog细说）可得,其时间复杂度为O(lgn)

建堆——buildHeap
我们利用heapify来自下而上建堆，这需要满足使用heapify的条件。
对于一个堆状数组，其叶节点由于无儿子节点，所以显然满足堆的性质。所以我们从第一个可能不满足堆性质的非叶节点到根节点逐一进行heapify维护，就可以得到最后完整的堆。

void buildHeap(vector<T> &v){
    for(int i=v.size()/2-1;i>=0;i--){
        maxHeapify(v,i);
    }
}

一个buildHeap的例子如下图所示
[站外图片上传中...(image-7df3cc-1514818541338)]

其正确性由循环不变量“始终满足heapify条件“易证。
由于其对n/2个节点进行了maxHeapify操作，而每次maxHeapify最差情形耗时O(lgn)，所以似乎整个buildHeap耗时O(nlgn),这的确是一个上界，但不是一个紧上界，这是因为并不是所有节点维护堆性质都需要递归O(lgn)深度，例如最底层非叶节点heapify顶多只需要1次调用即可完成，所以一个tight bound计算如下：
h表示节点距离底部距离，因为表示需要O(h)次调用的heapify的节点有n/2^(h+1)个,所以时间复杂度：

故对给定数组进行buildHeap其紧确界为O(n)
但是注意如果逐一添加元素自上而下构建堆，其时间复杂度则为O(nlgn)

应用

堆排序###

对于最大堆，我们将数组第一个元素取出即为整个数组的最大值，将最后一个元素换到数组头部，此时其满足heapify使用条件，对其进行堆维护可以继续得到一个堆（相比之前少了一个元素），递归这个过程可以逐一取出剩余数组的最大值，则可以得到排序后的结果。其有n次heapify调用，故其复杂度为O(nlgn)。注意到其操作是可以in-place进行的（只要将取出的最大值与堆尾交换即可），性质可以说是非常良好了。

HeapSort

top k问题###

问题：我们希望找到流数据中前k大的值，该怎么做？
维护一个size为k的最小堆，每次来新数据将其与堆顶作比较，如果比堆顶要大，则将堆顶替换（因为堆顶表示整个堆的最小元素，来了一个比它大的则其不可能为前k大的元素了）
同理求数据流前k小用最大堆。

优先级队列###

问题：对于一般的队列是先入先出，我们有时候需要一种队列，根据其key（优先级）来进行选择性出队，优先级高的先出队，而与插入顺序无关。例如医院病人排队是根据病情缓急来的，而与来的先后无关。
对于优先级队列我们底层使用堆来实现，因为堆天然维护了堆首为整个数组最值这一特性。
对于优先级队列，我们还需要为堆添加三个操作：
1.进队——push
首先将新的元素添加至数组最后，然后自底向下维护堆性质。其复杂度为O(lgn)
（当然也可以利用后面的increaseKey，首先将其优先级设置为无穷小，然后increaseKey到给定值，代码中没有使用这种实现方式因为考虑到泛型不好设置无穷小）

void push(const T& x){
    heap_vector.push_back(x);
    size_t i=heap_vector.size()-1;
    while(i>0&&heap_vector[parent(i)]<x){
        heap_vector[i]=heap_vector[parent(i)];
        i=parent(i);
    }
    heap_vector[i]=x;
}

2.队首——max（min）
堆状数组第一个元素即为最值元素，返回第一个元素即可

T& max(){
    return heap_vector[0];
}

3.出队——pop
其实可以删除优先级队列中任意位置的元素，只要将该位置元素与堆尾进行交换后删掉最后一个元素，然后维护该位置的堆性质即可。其发咋读为O(lgn)
作为一种特殊情形，出队只要先获取最大元素然后pop(0)即可。

void pop(size_t i){
    heap_vector[i]=heap_vector.back();
    heap_vector.pop_back();
    maxHeapify(heap_vector,i);
}

4.提高优先级——increaseKey（视优先级定义有时也可以为decreaseKey，即越小优先级越高）
这个操作是必要的，因为有时候会需要改变队中已有元素的优先级，例如医院中排队中的某个病人突发病情加重需要。另外非常常见的一点是SSSP（Single Source Shortest Path）问题中若路径权重为非负值我们采用Dijkstra会需要更新元素的当前最短路径值。
对于最大堆来讲increaseKey可能会使得和其parent不满足堆性质，所以上浮逐一维护堆性质即可。其复杂度为O(lgn)。

void increaseKey(size_t i,const T& x){
    if(heap_vector[i]<x){
        heap_vector[i]=x;
        //上浮
        while(i>0&&heap_vector[parent(i)]<x){
            heap_vector[i]=heap_vector[parent(i)];
            i=parent(i);
        }
        heap_vector[i]=x;
    }
}

结语

本文介绍了二叉堆的两种形式——最大堆和最小堆，以最大堆为例讲述了怎样建堆以及相关操作的复杂度分析。最后介绍了堆在实际问题中的三种应用。
二叉堆到这里基本就结束了，但堆却远没有结束，考虑下面两个问题：
1.给两个堆，怎样快速(O(lgn))将其合并？——二项堆
2.怎样快速decreaseKey？（O(lgn)不够快，希望摊还O（1））——斐波那契堆
后面会分多篇blog介绍这两种数据结构