7300-1

7300-1

作者: 7300T | 来源:发表于2019-02-15 16:17 被阅读245次

如图1，已知抛物线 $y^2=2x$ A,B是曲线上两点，且 $OA\perp OB$ ^[1]

(1)求AB中点M的轨迹方程；

(2)求证：直线AB过定点

image.png

解：

(1)设 $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$ , $M(x_0,y_0)$ ,由 $OA\perp OB$ 知 $x_1x_2+y_1y_2=0$ ，又因为A,B在抛物线上，则 $x_1x_2=\frac{1}{4}(y_1y_2)^2$ ,所以 $(y_1y_2)^2+4y_1y_2=0$ ,则 $y_1y_2=-4$ ,设直线 $AB:x=my+t$ ,则 $y^2-2my-2t=0$ ，又因为 $-2t=y_1y_2=-4$ ， $t=2$ ,则 $AB:x=my+2$ ,则 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{my_1+2+my_2+2}{2}=\frac{1}{2}m(y_1+y_2)+2=m^2+2$ ,而 $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=m$ ,故 $x_0=y_0^2+2$

综上，M的轨迹方程为 $y^2=x-2$ .

(2)由(1)可知 $AB:x=my+2$ 过定点(2,0).

perpendicular 垂直的 ↩

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